Q R 4P D 4P 8L 128 L
上式整理后有
PD 32Q
4L
D3
而
Q D2 ˙V
4
其中，V 为流动断面的平均流速。
那么
32Q 8V
D3 D
（3-11）
（3-12）
12
把式（3-3b）和（3-12）带入式（2-11）得：
b
8V D
根据牛顿流体的流变方程，有
(3-3b)
（3-13）
第三章 流变性测量基础
§3.1 概述
一、流变测量的分类
具有复杂流变性的物料，在外力作用下，力学响应随形变（流动） 方式和形变（流动）历史而异。
从严格意义上讲，流变测量是选择简单流动方式来测定在特定历史 下流体的物料函数，即应力、应变、应变速率及粘度、模量等流变响应 特性。
简单流动中，流体运动的描述有三个主要方向，即流动方向、速 度梯度方向和中性方向。在剪切流动中，这三个方向是相互垂直的；在 拉伸流动中，流动方向与速度梯度方向平行。
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R 4P
8QL
（3-10a）
或
R4Pt
（3-10b）
8V L
这就是用细管法测定牛顿流体动力粘度的原理。通过确定细管
的几何尺寸 R、L，实验测取 L 两端的压差ΔP 和相应的流量 Q
（或V / t ），就可求得流体的动力粘度μ。
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二、细管法测定非牛顿流体流变性原理
1、管流基本方程
对牛顿流体来说，由哈根-泊肃叶方程得
存在一一对应的关系； （6）流体是等温的。流速限定 时，流体沿管道产生层层流动，此时剪切面为 同心圆柱面，剪切线为平行于管轴的直线。
在柱坐标中，速度分布可表示为： ur 0, u 0, u z uz (r)
图 3.1
流体微元的运动迹线与剪切线重合。随半径r的增加，流 体微元运动的速度减小，因此管流的剪切率表示为：
b
(
du dr )b
式中，
(
du dr
)
b
是流体在管壁处的剪切率。
∴
du 8V ( dr )b D
（3-14） （3-15）
上式说明，当牛顿流体沿圆管作层流流动时，其在管壁处的剪切
率等于 8V 。在后面的推导中，无论哪一类流体，管流中任一处的 D
稳态剪切流动是纯粘性流体流变性测量中最常用的流动， 具有如下特点：
➢ 在稳态简单剪切流动中，液层刚性地平移，其中任意两 液层微元之间的距离保持不变。液层是物质面，常称剪 切面；
➢ 每个液体微元在流动中保持体积不变；
➢ 对稳态剪切流动，剪切线实际上是液体微元运动的轨迹。
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二、流变测量的任务与内容
流变测量的任务包括：理论研究和实验技术两个方面。 理论研究主要是建立在各种边界条件下的直接测量值（压力、 扭矩、转速、流量等）与不能直接测量的物料流变响应（应力、应 变、应变速率等）的关系，分析各种流变测量试验的含义及其引入 的误差。 实验技术方面主要是在很宽的测量范围内，实现从稀溶液到固 体等不同状态体系的测定，并使所测量的量尽可能准确反映物料本 身的流变性和工程应用条件，这就要求研制出测量范围广、功能多、 精确度高的流变仪。 对一个具体的流变测量，其总的测量过程可归纳为：（1）设 计或选用适合工程或工艺要求的流变仪，建立物料的流变响应与测 量系统的关系，即寻求流变仪的测量原理；（2）提供反映工程或工 艺性质的流变测量方法；（3）寻找物料的流变方程，发展和检验本 构方程。
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若一定时间 t 内流体流经细管的体积为V ，即Q V / t ，则式
（3-8）变成如下形式：
V / t R 4P 8L
（3-9）
可见，流过细管的流量与细管半径的四次方成正比，而与流体的 粘度成反比。这一关系式被称为哈根-泊肃叶（Hagen-Poiseuille） 定律。若测得压差 P 与对应的流量 Q，则可由下式求得牛顿流 体的动力粘度：
（3-3a）两式得：
r b R
（3-4）
上述三个公式适用于稳态流动的任何与时间无关的流体。
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对动力粘度为 的牛顿流体，由式（3-2）和式（3-1）以及牛顿
流体本构方程
du
dr
得
du P rdr
（3-5）
2L
那么，流体流速 u 随半径 r 的分布关系式为： u P (R2 r 2 ) 4L
（3-6）
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可见，在r
R
处，u=0；在 r=0 处，流速最大，为umax
PR2
4L
，
流速成抛物线分布，这种流动称为泊肃叶（Poiseuille）流动。
通过细管断面的流体体积流量 Q 为：
R
Q 0 u 2rdr
（3-7）
将式（3-6）代入上式积分得出结果：
Q R 4P 8L
（3-8）
图 3-3
因此，按流动方向与速度梯度方向的关系，流动可分为剪切流动和 拉伸流动。剪切流动按照其流动的边界条件可进一步分为拖动流动和压 力流动。拖动流动是由运动边界所造成的流动，而压力流动是边界静止， 由压力梯度产生的流动。
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按形变历史，即流动速度随时间的变化特点，流动又可分 为稳态流动，即形变速率不随时间改变的流动；瞬态流动，即 应力或应变发生阶跃变化的流动；以及动态流动，即流体经受 交变的应力和应变，通常是小振幅正弦振动的流动。
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§3.2 细管法测定流变性
一、细管法测粘的基本原理 假定细管能满足下述条件： （1）细管十分长，并呈直线状，且内径均等； （2）流体的流动状态为充分发展的稳定的层流，流体内任
一点的流速仅是其半径r的函数； （3）流体是不可压缩的均质流体； （4）与细管内壁相接触的流体没有滑移； （5）流体流变性质与时间无关，其剪切应力与剪切率之间
若满足稳定流动的条件，根据力平衡原理，F1 F2 0 ，由此
得如下关系式：
Pr
2L
（3-2）
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可见，剪切应力与距管中心的距离 r 成正比，在 r=R 处，剪切
应力最大，若以 b 表示之，则
b
PR 2L
（3-3a）
或
b
PD 4L
（3-3b）
式中，D 为细管直径。在管中心，r=0， 0 。比较（3-2）和
du
dr
（3-1）
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如图3-2所示的细管段，长 为L，半径为R，两端压差为
ΔP。在以管轴心线为中心，半
径为r的圆柱体上，存在着两个 方向相反的力：
图 3-2
一是细管 L 两端的压差作用于圆柱端面上的力 F1，F1 r 2P ； 二是流体流动过程中，在圆柱壁面上的粘滞阻F力2 ，若圆柱面 上的剪切应力为 ，则F2 2rL 。