费米能级设计及金属的接触势差
哈尔滨工业大学材料科学与工程学院(1091900416)
摘要：由量子电子理论，对Fermi-Dirac 分布函数推导出费米能级的计算公式，得出费米能级依赖于电子密度n ，进而对费米能级进行设计。

接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高,应用公式推导从而得出金属接触势差与费米能级的关系。

关键词：费米能级；电子密度；金属接触势差
费米能级是指对于金属，绝对零度下，电子占据的最高能级就是费米能级；也可以理解为绝对零度时金属中电子的化学势。

金属接触势差为两种不同的金属相互接触时在它们之间产生的电势差。

一、 费米能级及费米能级的设计
自由电子气服从Fermi-Dirac 统计分布规律，满足下式：
(,)f E T =
()/1
1E kT
e
μ-+
它表示温度在T 的热平衡石，能量处于E 的电子态被电子所占据的概率。

K 为波尔兹曼常数，T 为热力学温度，μ为化学势，定义为：
μ=,(
)T V
F N
∂∂
表示温度T 和压力V 一定是，体系自由能F 与电子数目N 的变化率。

在分布函数中，μ是一个决定电子在各能级分布的函数，它与N 的关系满足：
1/2
3/2
2
2
()/0
2(,)()(
)
21E kT
V m E dE N f E T g E dE e
μπ
∞∞-=
=
+⎰
⎰
当T=0K 时，体系处于基态，也就是体系能量的最低函数，分布函数为：
1,(0)
0,(0)
(,){lim
E E T f E T μμ<>→=
μ（0）为T-=0体系的化学势。

可见能量大于μ（0）的轨道是空的，而能量小于μ（0）的轨道被电子所填满。

由于Pauli 不相容原理，每个轨道只能容纳自旋相反的两个电子，所以电子只能按照能量从低到高的规律填充在各轨道中。

μ（0）为基态时电子能量最高的轨道。

通常称为Fermi 面。

由公式0
()()N f E g E dE ∞
=
⎰
()F E N E dE =
⎰
=
1
20
()F E C E d E ⎰
=
3
2
2()3
F C E ()()
3
232
2
3
23F V m E π=
所以有
()2
3
2
32
2
22
3322F N E n m V m
ππ⎛⎫= ⎪
⎝⎭= =2
2
F 2m k 21/3(3)F k n π= F
k 称为Fermi 波矢，它只依赖于电子密度n ，从而Fermi 能级F E 也完全由n 决
定。

所以费米能级的设计依赖于对电子密度的改变。

金属中电子浓度的改变可通过
掺杂价态不同于基体金属价态的元素来调节基体金属的电子浓度。

但应该考虑两者之间的固溶程度。

二、 金属的接触势差
有两种不同金属1M 和2M 构成的非闭合回路（图1），在真空中靠近金属表面的a 和b 存在着因为金属逸出功不同而存在的势差12U '
如图所示。

其中：
12U ' =
211()
W W e
-
e 为电子电荷的绝对值，1W 、2W 分别为1M 、2M 的逸出功。

同时在两金属接触的地方（如图c,d 两点），存在着因两金属单位体积中的自由电子数不同而产生的另一种接触势差——内接触势差12U ''，把金属中的自由电子当作经典理想气体近似处理，得到：
1122
ln n K T U e n ''-
其中1n 、2n 分别为1M 、2M 自由电子数密度，K 为Boltzman 常数，T 为热力学温度（K ）。

因此总的接触势差为：
1121212212
1()ln n K T U U U W W e
e n '''=+=
-+
三、金属接触势差与费米能级的关系
1. 把相互接触金属1M 、2M 看成是可以交换粒子，它们在一定温度和压强的通常情况下相互接触后，由于电子交换，一开始整个系统的化学势φ的变化是
1122F F d E dN E dN φ=+
其中1F E 、2F E 和1dN 、2dN 分别为第一、第二系统金属1M 、2M 的Fermi 能级和电子数变化，因为1dN = -2dN ，所以
112()F F d dN E E φ=-
若1F E = 2F E ，d φ=0,相当于平衡态。

若1F E ≠2F E ，系统就不平衡；过渡到平衡态，意味着d φ< 0。

设1F E >2F E ,条件d φ< 0要求1dN < 0，1dN = -2dN > 0，即具有较高Fermi 能级的子系统1M 的电子数将减少，具有较低Fermi 能级子系统2M 的电子数将增加，即电子从1M 流入2M 直至由于电子转移引起金属1M 、2M 的电势发生变化，使两者的Fermi 能级达到一致为止。

因此原来能带位置如（图2）的两种不同金属1M 、2M 接触后，变成如（图3）所示。

结果1M 带正电，电势升高，电子的势能减小；2M 带负电，电势降低，电子的势能增大。

也就是说，由原来的两金属Fermi 能级不同引起的电子转移，在1M 、2M 间形成了静电场，使金属1M 的电势高于金属2M ，其电势差即通常所说的外接触电势差。

这时候金属1M 中的电子附加在正的静电场中的能量（负值），同时金属2M 中的电子附加在负的静电场中的能量（正值），恰好使两金属的Fermi 能级相同，达到平衡，电子的净转移过程也就停止了。

令φ为金属接触后产生的电势差附加到两金属电子的能量差，我们从图可以得出
φ=21
W W -
那么，外接金属电势差满足下式：
12211()
U W W e
e
φ
=
=
-
由于金属逸出功在绝对能量参考系中与Fermi 能级相同，我们可以得出：
1210201()
F F U E E e
=
-
因此，金属接触势差和Fermi 能级相关。

2.既然外接触电势差起源于Fermi 能级差，而Fermi 能级是随温度略有变化的，所以外接触电势差也随温度略有变化。

做经典近似处理我们把Fermi 分布函数写成：
()/()/(,)22F F E E K T
E E K T
f E T e
e
---==
设金属单位体积中的自由电子数为n ，则
/2i E K T
i
z e
-=
∑
相当于经典理论中的电子分配函数，从而我们得到：
1ln F
K T n E z
=
在温度不高的时候:
2
22
012
F F
F
K T E E E π
=-
带入化简得：
2
0/ln
12
F F
n E E KT z π
=-
故在温度T 时，外接金属接触势差的大小：
1020
21
12F F E E W W U e
e
--=
=
2
002110
20
1()(1/ln
1/ln
)
12
F F n n KT E
E e
e
z
z
π=
-+
-
2
0011210
20
1()ln
/(ln
)(ln )
12
F F n n n K T E
E
e
e
n
z
z
π
=-+
金属接触势差与两金属绝对零度时的Fermi 能级，热力学温度T （K ）有关。

温度变化，接触金属的费米能级的改变都将改变金属的接触势差。

在一般情况下，KT 较小，忽略温度这一影响因素，则只需讨论两金属的Fermi 能级对金属接触势差的影响。

参考文献
[1]孙汪典 .金属接触电势差问题讨论,暨南大学学报;1989. [2]黄昆,韩汝琦.固体物理学. 北京:高等教育出版社,1988:288—290。