因为：
N=
E0 F 0
g(E)dE
m
2 3
得： 得：
N=
0 EF
8π V 3
3
（ 2π 2 h 2 ）
3N
2
0 （E= [2V/(2π)2 ](2m/h2 )3 解得费米能级为
h 2 3 2 N EF 2m V
2/3
从上式可以看出，费米能级只与单位体积固体中的电子数有关。因此，我们 可以通过改变固体中的电子数从而达到设计费米能级的效果。 由于不同金属的价电子数不同由于合金中的价电子是整个合金共有的， 当具 有不同价电子的金属组成合金时，固体中单位体积的电子数量会发生变化。 当在基体金属中掺杂价电子数比基体金属少的金属时： 单位体积中价电子数 减少，费米能级降低。
当在基体金属中掺杂价电子数比基体金属多的金属时： 单位体积中价电子数 增多，费米能级增大。 既可以通过合金化达到设计固体费米能级的目的。
金属的接触势差
任意两块不同的金属Ⅰ和Ⅱ接触，或者以导线相连时，两块金属就会带电并 产生不同电势VⅠ 和VⅡ ，称为接触势差。 脱出功 在金属的内部， 电子电子受到正离子的吸引，但由于各离子的吸引力互相抵 消， 使电子受到的净吸引力为零， 在金属表面处， 由于正离子的均匀分布被破坏， 电子将在金属表面处受到净吸引力，阻止他逸出金属的表面，这相当于金属表面 形成深度为E0 的势垒，金属中电子可看成是处于深度为E0 的势井中的电子系统， 电子的费米能级为EF 。 热电子发射问题就相当于电子跨越高度为E0 的势垒问题。 电子要越出金属至 少要从外界得到的能量为 Φ = E0 − EF —Φ称为脱出功或脱出函数。 0 T = 0k 时，所有的电子能量都不超过EF ，无电子可脱出金属。 随着温度的升高， 有一部分电子可获得大于的能量，这一部分电子可能逸出 金属表面形成热电子发射流。 热电子发射电流密度 j = 4πe
m(k B T)2 (2π h)3
e−Φ
(k B T)
= BT 2 e−Φ
(k B T)
此式称为 里查孙-杜师曼公式。式中，B = mek B 2 (2π2 h3 )是常数。 当两块金属接触时，若ΦⅡ > ΦⅠ，既费米能EF1 > EF2 ，电子将在两块金属 中重新分布， 电子将由费米能较高的金属Ⅰ流向费米能级较低的金属Ⅱ，从而使 金属Ⅰ带正电，金属Ⅱ带负电，他们产生的静电势分别为： VⅠ > 0， VⅡ < 0
费米能级的设计及金属的接触势差
费米能级的设计
由统计物理知，电子服从费米-狄拉克统计，及在温度为 T 时，能级为 E 的一个状态上，电子占据的概率为： 1 f E EF
e k BT 1 式中k B 为玻尔兹曼常数；μ为化学势，他是温度 T 和电子数 N 的函数，可由 系统的具体情况决定。 由索末菲自由电子模型知：电子的态密度为
g(E) =
2V （2 π ）
2（ 2 ） h
2m
3
2 1
E
2
在绝对 0 K 时,电子气体处于基态。
T→0
lim f（E） = 1，E < μ（0）
T→0
lim f（E） = 0，E > ������（0）
0 我们 T=0k 时电子所能占据的最高能级μ（0）为基态费米能,用EF 表示。 0 EF = μ（0）
此时，按照里查孙-杜师曼公式，设两块金属温度都是 T，则Ⅰ、Ⅱ两块金 属的热电子发射流分别为 j1 = AT 2 e
−(Φ Ⅰ +eV 1 ) (k B T) −(Φ Ⅱ +eV 2 ) (k B T)
j2 = A T 2 e
由金属Ⅰ流向金属Ⅱ的净电流密度 j1 − j2 。随着电子的流动，金属Ⅱ的费 米能级EF2 不断升高，EF1 不断降低，当EF1 =EF2 时，电子流动达到平衡，既 j1 = j2 可得：
ΦⅠ + eV1 = ΦⅡ + eV2 这种平衡时的电势差 V1 - V2 = e （ΦⅡ − ΦⅠ ） 就是接触电势差。
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