1.2.11 函数奇偶性的运用
【学习目标】
1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性；
2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想．
【学习重点】利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性．
【难点提示】函数奇偶性的综合运用.
【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
【学习过程】 一、学习准备
1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题．
（1）函数奇偶性的种类有 ；
（2）奇函数图象特征是 ，代数特征是 ；
（3）偶函数图象特征是 ，代数特征是 ．
（4）奇（偶）函数的定义域特点是 ．
2.方法梳理：（1）函数奇偶性的判断方法有 、入手点 ；
（2）函数奇偶性的价值在： （链接1）.
二、探究新知 1. 观察思考
已知奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增函数，请画出其示意图．
（1）根据奇函数的图象特征，你能判断出函数)(x f y =在区间()a b --,上的单调性吗？
（2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？
（3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？
（4）若函数)(x f y =是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括
通过对以上问题的探究，请填空．
（1）奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ；
（2）偶函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ．
●想一想：能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性
的联系与区别？ （链接2）
3.快乐体验 （1）若奇函数[]7,3)(在x f 上是增函数,且有最小值5,那么()f x 在[]7,3--上有( )
Ａ．增函数且最小值5-； Ｂ．增函数且最大值5-；
Ｃ．减函数且最小值5-； Ｄ．减函数且最大值5-.
（2）已知函数)(x f 在]5,5[-上是偶函数，)(x f 在]5,0[上是单调函数，且)1()3(-<-f f ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．)3()1(f f <- ；
B ．)3()2(f f < ；
C ．)5()3(f f <- ；
D ．)1()0(f f >.
（3）定义在R 上的偶函数)(x f y =在(]0,∞-上是增函数,则)(),(),(102f f f -的大小关系 为__________________________．
解后反思 你能归纳出比较函数值大小的方法与步骤吗？解有关奇偶性问题的关键 点、入手点在哪里？
三、典型例析
例1. 例１、已知定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），当),0[+∞∈x 时，2()1f x x x =-+，求)(x f 的解析式，并分析)(x f 在R 上的单调性？
思路启迪： 注意分析该题是求什么？想法将),0[+∞∈x 时，2()1f x x x =-+与 偶函数联系起来；回顾分析函数单调性有哪些方法，灵活选择．
解：
●解后反思 你能归纳出利用函数奇偶性求函数解析式的步骤吗？该题本质求什么？关键是怎样运用函数的偶函数性？讨论单调性有哪些方法？
●变式练习 已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ），当),0(+∞∈x 时，2()1f x x x =-+，求)(x f 的解析式，并分析)(x f 在R 上的单调性？
解：
例2.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式
()()0f x f x x --<的解集为（ ）
A ．(10)(1)-+∞ ，，；B.(1)(01)-∞- ，， C.(1)(1)-∞-+∞ ，，；D.(10)(01)- ，，.
思路启迪：该题有具体的解析式吗？没有解析式，可借助什么来分析呢？
解：
●解后反思 求解该题的关键点、入手点在哪里？
●变式练习 定义在区间（－1，1）上的奇函数)(x f y =是减函数,且
0)1()1(2<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围．
例3.函数)(x f y =是R 上的偶函数,)(x f y x =<时，0是增函数,又对于
0021><x x ,时,有21x x <,则)()(21x f x f --与的大小关系为_________ ．
解：
●想一想：偶函数的代数特征是|)(|)()(x f x f x f ==-，你理解它的含义和价值吗？ ●变式练习 定义在[]2,2-上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()f x 为减函数．若 (1)()0f m f m +->，求实数m 的取值范围．
解：
四、学习反思
1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？
如：奇偶函数定义、代数特征、图象特征、特有的定义域特征都理解与掌握了吗？你能利用奇偶性质研究“函数的图象、解析式、函数值、单调性等”问题吗？
2.对本节课你还有独特的见解吗？你找了本节课的数学知识与生活的联系吗？感受到本节课数学知识的美在哪里？（链接3）
五、学习评价
１.已知函数6()3f x ax
x =+- ，1)0f =，则f 的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ．3 D ．－3
2.已知偶函数)(x f y =在)0,+∞⎡⎣上是增函数,则下列不等式正确的是( )
A ．)()()(22ππ->->f f f
B ．)()()(22->->f f f π
π
C ．)()()(ππf f f >->-22
D ．)()()(22->->f f f π
π ３.奇函数)(x f 在区间)0,(-∞上是减函数，0)2(=f ，则不等式0)1()1(>+-x f x 的解集为（ ）
A ．)2,1()1,2(⋃--；
B ． ),2()1,3(+∞⋃- ；
C ．)1,3(-- ；
D ．),2()0,2(+∞⋃-.
4.函数y ＝f （x ）（x 0≠）在),0(+∞∈x 时，1)(3+=x x f
（1）若函数()f x 是奇函数，则)(x f 的解析式为 ；
（2）若函数()f x 是偶函数，则)(x f 的解析式为 ．
5. 函数)(x f y =是R 上的奇函数，设函数)()(x xf x F =在区间(]0,∞-上是减函数，试比较)43(-F 与))(1(2R a a a F ∈+-的大小．
解：
6.已知函数f (x )＝x ＋x
m ，且f(1)＝2，g (x )为定义在R 上的奇函数． (1)判断F(x )＝f (x )·g (x )的奇偶性；
(2)判断函数)(x f 在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)若f (a )>2，求实数a 的取值范围．
解：
◆承前启后 我们学习了函数的三个中性质，在这以前我们还学习了一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数等，也学习了加、减、乘、除、乘方、开放等运算，那么在数学领域中还有其它运算和其它函数吗？
六、学习链接
链接1.若函数)(x f y =是奇（偶）函数，根据其图象特征可知，我们只需研究函数在y 轴左侧或右侧部分的性质；
链接2. 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 函数的单调性与奇偶性在同一个函数可能同时存在、可能同时不存在、可能单边存在；同时存在函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性是函数的整体性；
特别提示：对函数的研究，一定离不开对函数的单调性、奇偶性的研究；在解决函数问题时，函数的单调性与奇偶性往往是并肩战斗、团结协作.
链接3.这节课的美感太典型了：团结就是胜利！。