第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。

✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。

例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。

例2． （06年期末考试 十一，4分）试证2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y 在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

例3．求(,)(1,2)limx y x yxy →+ 例4．(,)(0,0)lim x y →4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限00000(,)(,)limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆存在，则有000000000000(,)(,)(,)limx x xx x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y xxx=∆→=====+∆-∂∂====∂∂∆（相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。

）如果极限00000(,)(,)limy f x y y f x y y ∆→+∆-∆存在，则有000000000000(,)(,)(,)limx x yy y y y x x x x y y y y f x y y f x y z f z f x y yyy=∆→=====+∆-∂∂====∂∂∆对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。

例1（08年期末考试 一、3，4分）已知22222222(),0(,)0,0⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩x y xy x y x y f x y x y ，则(0,)=x f y例2 （06年期末考试 十一，4分）试证2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y 在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

例3 设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，求(,),(,)x y f x y f x y 。

例4 设y x z =，求y x z z ,。

例5（03年期末考试，一、2，3分） 设(1)arcsin x u x y y =+-，则ux∂∂在(1,2)的值为（ ）。

2、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）, 22(,)xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 22(,)yy z z f x y y y y ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭ 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂∂⎝⎭定理：若两个混合二阶偏导数22,z z x y y x ∂∂∂∂∂∂在区域D 内连续，则有22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂。

例1．设,1ru =222)()()(c z b y a x r -+-+-=，其中c b a ,,为常数，求：222222zuy u x u ∂∂+∂∂∂∂＋。

例2．设xyarctge y x z -+=)(22，求yx z ∂∂∂2。

3、(,)z f x y =在点(,)P x y偏导数存在⇒(,)z f x y =在点(,)P x y 连续（07年，04年，02年等）4、偏导数的几何意义：00(,)x f x y 表示曲线0(,)z f x y y y =⎧⎨=⎩在点000(,,)P x y z 处的切线与x 轴正向的夹角。

三、全微分1、(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分的判定方法 若(,)(,)(,)lim0x y z f x y x f x y y∆∆→∆-∆-∆=，则可判定(,)z f x y =在点00(,)P x y 可微分。

其中00(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-例1．（08年期末考试 十二、6分）证明函数222222()sin 0(,)0,0⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩x y x y f x y x y 在（0，0）处可微，但偏导数(,)x f x y 在（0，0）处不连续。

例2 （07年期末考试 七、6分）22220(,)0,0+≠=+=⎩x y f x y x y ，证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。

2、全微分的计算方法若(,)z f x y =在00(,)P x y 可微，则有0000(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+ 其中0000(,),(,)x y f x y f x y 的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。

例1（08年期末考试，一，1，4分） 设432=+z x y x ，则(1,2)=dz 例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设arctan(0),=≠yz x x求dz 。

例3 （06年期末考试，二、2，3分）设2=y u x ，则=du例4 （03年期末考试，二、2，3分）函数22ln()=++u x y z 在点(1,0,1)处的全微分为例5．设w uy z arcsin +=，x e u =，22yx x w +=，求函数：对变量y x ,的全微分dz 。

3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等） ✧ 一阶偏导数,x y f f 在00(,)P x y 连续⇒(,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒(,)z f x y =在00(,)P x y 连续⇒(,)z f x y =在00(,)P x y 有极限✧ (,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒在00(,)P x y 的一阶偏导数,x y f f 存在 ✧ (,)z f x y =在00(,)P x y 可微⇒在00(,)P x y 的方向导数,x y f f 存在四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则：变量树状图 法则 (1)(,),(),()z f u v u t v t ϕψ=== dz z du z dv dt u dt v dt∂∂=+∂∂dz z du z dv z d dt u dt v dt dtωω∂∂∂=++∂∂∂ (2)(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===,z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂(3) z f u x y u x y (,,),(,)ϕ==,z f u f z f u fx u x x y u y f∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂例1． （08年期末考试，七，7分）设(,)xz f x y =，f 具有连续二阶偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。

例2． （08年期末考试，十一，6分）设(,)z z x y =是由方程22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中()x ϕ可导，求dz 。

z u xy x y例3． （07年期末考试，八，7分）设(,)yz xf xy x =，f 具有连续二阶偏导数，求2,z zy y x∂∂∂∂∂。

例4． （06年期末考试，一、1，3分）设()yz xyf x =，()f u 可导，则z z xy x y∂∂+=∂∂（ ）。

例5． （04年期末考试，三、1，8分）设(,)G u v 可微，方程(,)0G u v =，其中22,u x yz v y xz =+=+确定了z 是,x y 的二元可微隐函数，试证明222(2)(2)4.z zy xz x yz z xy x y∂∂-+-=-∂∂。

例6． （03年期末考试，三、2，5分）设(,)u v φ具有连续偏导数，证明方程(,)0x yz y xz φ--=所确定的函数(,)z f x y =满足2()()1.z zy xz x yz z x y∂∂+++=-∂∂。

例7 记22(,)t u f x t x =+，f 具有连续二阶偏导数，求,u u x t ∂∂∂∂，222,u ux x t ∂∂∂∂∂。

例8 设y x z ln 2=，而v u x =，v u y -=3，求u z ∂∂和vz∂∂。

例9 设22)(b a z y e u ax ++=，而x a y sin =，xb z cos =，则du dx。

例10． 设22(,)xyz f x y e =-，又f 具有连续的二阶偏导数，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂。

2．一阶全微分形式不变性：设(,)z f u v =，则不管,u v 是自变量还是中间变量，都有''u v dz f du f dv =+✧ 通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。