多元函数微分学复习题及
答案
Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答
一、选择题
1.极限lim x y x y x y →→+00
242
= （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于
12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =）
2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=⎧⎨⎪⎩⎪11000，则极限lim (,)x y f x y →→0
= （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2
（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）
3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩
⎪22
2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续；
(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；
(D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =
，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。
所以，
(,)f x y 在整个定义域内处处连续。
）
4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ）
(A)必要而非充分条件；
(B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件
5、设u y x =arctan ，则∂∂u x
= （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y
22
6、设f x y y x
(,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-14； （B ）
14； （C ）-12； （D ）12
7、若)ln(y x z -=，则=∂∂+∂∂y
z y x z x （ C ） （A ）y x +； （B ）y x -； （C ）21； （D ）2
1-． 8、设y
x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u --； （B ）22v u u v --； （C ）22v u v u +-； （D ）22v u u v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32； (B) x -32； (C) 21x +； (D) -+21x
10、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x z y
+=21 （ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ； (D) 1
11、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ）
（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；
（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。
12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有 （ C ）
2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则
（A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点；
（C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定。
二、填空题
1、极限lim sin()x y xy x
→→0
π= 。
答：π 2、极限lim ln()
x y x y e x y →→++0
1222= 。
答：ln2
3、函数z x y =+ln()的定义域为 。
答：x y +≥1
4、函数z x y
=arcsin 的定义域为 。
答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭
⎪22，则f kx ky (,)= 。
答：k f x y 2⋅(,) 6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= 。
答：22
2x y x
- （22
()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x
+--+-==++-） 7、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z
x x y ===2
1_________ 。
答：3cos5
8、函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()所确定，则22z x
∂∂= 0 9、、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ 。
答：1y
9、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________。
答：（1，－1）
三、计算题
1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.
(1) z = (2)ln()z x y =+(3)1ln()
z x y =+ (4)ln(1)z xy =-
解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.
故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图
(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为
{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图
(3)要使函数1ln()
z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠. 故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图
(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为
{(,)|1}D x y xy =>，图形为图
图 图
图 图
2、求极限lim x y x
xye xy →→-+00
416 。
解：lim x y x
xye xy →→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416 = -8
3、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，求
∂∂z y 。
答：2112xyz xy -- 4、设z y xy x =ln()，求
∂∂∂∂z x z y ,。
解：z y y xy x y x x x =⋅+
ln ln 1 z xy xy y y y x x =+-11ln()
四、应用题。
1、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少
解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有
利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=
)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，
令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L y
x ，解得唯一驻点（120，80）. 又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得
0105.332>⨯=--B AC .
得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.
五、证明题
1、设)11(y x e z +-= 求证z y
z y x z x 222=∂∂+∂∂
证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+- 2)11(1
y e y z y x ⋅=∂∂+- 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)1
1()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2 设2sin(x 2y 3z )x 2y 3z 证明1=∂∂+∂∂y
z x z 证明：设F (x y z )2sin(x 2y 3z )x 2y 3z 则
F x 2cos(x 2y 3z )1
F y 2cos(x 2y 3z )222F x
F z 2cos(x 2y 3z )(3)33F x 313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z 3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y
z 于是 13
231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z 3、设xx (y z ) yy (x z ) zz (x y )都是由方程F (x y z )0所确定的具有连续偏导数的函数 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x
z z y y x 解：因为 x y F F y x -=∂∂ y z F F z y -=∂∂ z
x F F x z -=∂∂ 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z
x y z x y F F F F F F x z z y y x。