山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题 理考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区堿内作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．． 4．本试卷主要命题范围：高考范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数13iz i+=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集U =R ，集合{}2{22},31xA xx B y y =-<<==-∣∣，则()UA B ⋂=（ ）A ．[1,2)-B ．(2,1]--C ．(1,2)-D ．[2,1)- 3．“2,4k k πθπ=+∈Z ”是“tan 1θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（ ） A ．1087 B ．937 C ．387 D ．3275．若单位向量,a b 满足(2)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2πD ．π6．摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其(TURKEY)的西南方，陵墓由下至上分别是墩座墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米，其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为（注：67425.962≈）（ ）A ．2.77B ．2.43C ．1.73D ．1.35 7．若0.99232log 3log 5,log,24a b c =⋅==，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c a b << D ．c b a <<8．函数1()sin 1x xe f x x e -=⋅+在区间[,]ππ-上的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．9．在面积为S 的ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2243tan Sb c A+=+，则a =（ ） A ．1 B 3 C ．2 D ．310．已知函数7()sin()04,||,021212f x x f f πππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x =（ ） A ．sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 34x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭11．点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，横坐标为(0)m m >的点P 为抛物线C 上一点，过点P 且与抛物线C 相切的直线l 与y 轴相交于点Q ，则tan FPQ ∠=（ ）AB．2 CD12．已知函数()ln f x x x =，若对任意()()()221212120,2x x xx f x f x λ>>->-恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．[1,e]B ．(,1]-∞C ．[e,)+∞D ．[1,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足约束条件10,10,570,x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩则3z x y =--的最小值为________．14．已知1021001210(2)x a a x a x a x -=++++，则123102310a a a a ++++=_____．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为,F A 为双曲线C 的右顶点，过点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 交于P ，若直线AP 的斜率是双曲线C倍，则双曲线C 的离心率为_________．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且60APB ︒∠=，当PAB 的面积最大时，四棱锥P ABCD -的高为_______，四棱锥P ABCD -外接球的表面积为________．（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，且11nn n a a a +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令244n nb a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图1中，多边形ABCDE 为平面图形，其中3,2,4,//,AB AE BE BC CD BE CD BC CD =====⊥，将ABE 沿BE 边折起，得到如图2所示四棱锥P BCDE -，其中点P 与点A 重合．（1）当11PD =时，求证：DE ⊥平面PCE ；（2）当二面角P BE C --为135°时，求平面PBE 与平面PCD 所成二面角的正弦值． 19．（本小题满分12分）某校为了调硏学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩．为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，并分别绘制了如下图所示的频率分布直方图：规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀．（1）根据这次抽查的数据，填写下列的22⨯列联表；（2）根据（1）中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？ （3）用样本估计总体，将频率视为概率．在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有(18)n n <<名物理成绩优秀”的概率为1P ，“8名女生中恰有(18)n n <<名物理成绩优秀”的概率为2P ，试比较1P 与2P 的大小，并说明理由． 附：临界值参考表与参考公式0K（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,M N两点，且M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 作与直线MN 不重合的直线l 与C 相交于,P Q 两点，若直线PM 和直线QN 相交于点T ，求证：点T 在定直线上． 21．（本小题满分12分）已知函数1()2ln ()f x x a x a x=--∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若121211ln ln x x x x -=+，求证：122x x >+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）已知A 是曲线C 上一点，B 是直线l 上位于极轴所在直线上方的一点，若||2OB =，求AOB 面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,a b c ∈R ，且1a b c ++=． （1）求证：22213a b c++； （2）用max{,,}a b c 表示,,a b c 的最大值，求max{,,}a b b c c a +++的最小值．高三理科数学参考答案、提示及评分细则1．A 1(1)(3)42213(3)(3)1055i i i i z i i i i ++-+====+++-，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ． 2．B 由{1}B yy =>-∣，得(,1]UB =-∞-，所以()(2,1]U A B ⋂=--．故选B ．3．A 由2,4k k πθπ=+∈Z ，得tan tan 2tan 144k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭；由tan 1θ=，得,4k k πθπ=+∈Z ．故选A ．4．D 依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为1225(0,1,,47)k k +=，所以327不符合．故选D ．5．B 由(2)a b a -⊥，得(2)0a b a -⋅=，所以12a b ⋅=，所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=．故选B ．6．C 根据长、宽分别是40米、30米得金字塔的底面对角线长50米，可算出四棱锥高7米，所以侧棱= 1.73≈．故选C ． 7．C 22228180log 52,log log log 5,21616a b a c =>=>==<，有c a b <<．故选C ． 8．A 由e 1e 1()sin()sin ()e 1e 1x x xx f x x x f x -----=⋅-=⋅=++，可知()f x 为偶函数，又由当[0,]x π∈时，1()sin 01x x e f x x e -=⋅+．故选A ．9．B 由三角形的面积公式，得222sin 3tan bc A b c A+=+，即2232cos b c bc A +=+，由余弦定理，得2222cos 3a b c bc A =+-=，所以a =B ．10．A 由题意有()1122,12,712k k k k πωϕππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩Z ，两式作差得()()2112,2k k k k πωπ=-∈Z ，有()()21122,k k k k ω=-∈Z ，又04ω<<，所以12,6k πωϕπ==-，又||2πϕ<，所以6πϕ=-，故()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选A ．11．C 由抛物线的对称性，不妨设点P 位于第一象限，可得点P 的坐标为(,2)m m ，设直线l 的方程为()2y k x m m =-+，联立方程24,()2,y x y k x m m ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去x 后整理为24840ky y m km -+-=，有164(84)0k m km ∆=--=，有2210mk mk -+=，解得k m=，可得直线l 的方程为y x m m=+，令0y =，得x m =-，直线l 与x 轴的交点D 的坐标为(,0)m -，所以||1DF m =+，又||1PF m =+，所以||||PF DF =，所以FPQ FDP ∠=∠，所以tan tan FPQ FDP k m∠=∠==．故选C ． 12．D 由()()()2212122x x f x f x λ->-，得22111222ln ln 22x x x x x x λλ->-，令2()ln 2g x x x x λ=-，则问题可以转化为：对任意()()12120,x x g x g x >>>恒成立，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()ln 1g x x x λ'=--，所以转化为()0g x '在(0,)+∞上恒成立，因为(0,)x ∈+∞，所以ln 1x xλ+在(0,)+∞上恒成立，即转化为maxln 1x x λ+⎡⎤⎢⎥⎣⎦令ln 1()x h x x +=，则2ln ()x h x x '=-，所以当(0,1)x ∈时，()0h x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1h x h ==，所以1λ．故选D ．13．5- 画出可行域（如图阴影部分），当直线3z x y =--过点(1,2)A -时，z 取得最小值，z 的最小值为5-．14．10- 对1021001210(2)x a a x a x a x -=++++两边分别求导，得99121010(2)210x a a x a x --=+++，令1x =，得12310231010a a a a ++++=-．15．2 设焦点F 的坐标为(,0)c ，双曲线C 的离心率为e ，不妨设点P 位于第一象限，可求得点P 的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点A 的坐标为(,0)a ，直线AP 的斜率为2221()b c a c a a e c a a c a a -+===+--，又由22221b c a e a a-==-()2131e e +=-220e e --=，解得2e =或1e =-（舍）． 16．3283π点P 在以弦2AB =，所对的圆周角为60°的优弧APB 上运动，作,PH AB H ⊥为垂足，由侧面PAB ⊥底面ABCD ，得PH ⊥底面ABCD ．当H 为AB 的中点时，PAB 为等边三角形，此时PAB 的面积最大，且3PH =P ABCD -3．设等边PAB 的中心为1O ，正方形ABCD 的中心为2O ，过1O 、2O 分别作平面PAB 、平面ABCD 的垂线，且交于点O ，则O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，显然22222237O O O (2)33R A ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，于是四棱锥P ABCD -外接球的表面积为2728433ππ=． 17．解：（1）因为11n n n a a a +=+，所以111111n n n n n a a a a a ++-=-=，又111a =， 3分 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列． 4分所以11(1)n n n a =+-=，得1n a n=， 即数列{}n a 的通项公式为()*1n a n n=∈N ． 6分 （2）由（1），得2222224444111441414n n n n b a n n n-+====----111111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭， 9分 则111111111111111121323525722121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112(1)212121n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭． 12分18．（1）证明：由//,,2,4BE CD BC CD BE BC CD ⊥===，易求CE DE ==222CE DE CD +=，所以DE CE ⊥． 2分因为PE PD ==22211DE PE PD +==，所以DE PE ⊥．又,,PE CE E PE CE ⋂=⊂平面PCE ， 所以DE ⊥平面PCE ． 5分（2）解：取BE 的中点O ，过点O 在平面BCDE 内作BE 的垂线交CD 于F ，以直线OF 作为x 轴，直线OE 为y 轴，过点O 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(2,3,0)O B E C D --． 6分因为,PB PE O =为BE 的中点，所以PO BE ⊥，又BE OF ⊥，所以135POF ︒∠=．在PBE 中，2PE BE ==，所以PO =(1,0,1)P -，所以(0,1,0),(1,0,1),(0,4,0),(3,1,1)OE OP CD CP ==-==-． 8分 设平面PBE 的法向量为(,,)m x y z =，由(0,1,0),(1,0,1)OE OP ==-，有0,0,m OE y m OP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得0,,y z x =⎧⎨=⎩令1x =，得(1,0,1)m =； 9分设平面PCD 的法向量为(,,)n a b c =，由(0,4,0),(3,1,1)CD CP ==-，有40,30,n CD b n CP a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩解得0,3,b c a =⎧⎨=⎩令1a =，得(1,0,3)n =， 10分 所以4,||2,||10,cos ,||||2105m n m n m n m n m n ⋅⋅===〈〉===⋅⨯，故平面PBE 与平面PCD 所成二面角的正弦值为22515⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 12分19．解：（1）列出22⨯列联表，如下：优秀 不优秀 合计 男生 15 5 20 女生 5 15 20 合计2020403分（2）222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关． 6分（3）根据频率分布直方图，可得男生物理成绩优秀的概率为30.50.250.754+==， 女生物理成绩优秀的概率为10.20.050.254+==． 7分 设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量ξ，“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量η，根据题意，得31~8,,~8,44B B ξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 8分 则888881882888C 333311113C 1C ,C 1C 444444444nnn nnnn nn n n n n n P P ----⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-===-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭888288188828C 3C 34,3C 344n nn n n n n P P ---⋅⋅===⋅， 10分 当4n =时，2831n -=，于是12P P =； 当14n <<时，2831n -<，于是12P P <；当48n <<时，2831n ->，于是12P P >． 12分20．（1）解：由题意，得21(1,0),(1,0)F F -，且1c =， 1分则123242a MF MF =+==，即2a =， 2分所以b == 3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． 4分 （2）证明：由（1）及C 的对称性，得点N 的坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 5分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，点P Q 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，联立方程221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 后整理为()22224384120k x k x k +-+-=，所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++． 6分直线PM 的斜率为()111113313221122y k x k x x x ---==----， 直线PM 的方程为133(1)222y k x x ⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭， 直线QN 的斜率为()222223313221122y k x k x x x +-+==+---， 直线QN 的方程为233(1)222y k x x ⎛⎫+=+- ⎪-⎝⎭， 8分 将直线PM 和直线QN 方程作差消去y 后整理为1233(1)32222x x x ⎛⎫+-=⎪--⎝⎭，可得1211(1)211x x x ⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭， 9分而由()()()221212221212121222822211243412811111314343k x x x x k k k x x x x x x x x k k -+-+-++====------++-+++， 可得2(1)23x -=，解得4x =，即直线PM 和QN 的交点T 的横坐标恒为4， 11分 所以点T 在定直线4x =上． 12分21．（1）解：()f x 的定义域为2221221(0,),()1a x ax f x x x x'-++∞=+-=． 1分 令2()21g x x ax =-+，方程2210x ax -+=的判别式2444(1)(1)a a a ∆=-=+-， （i ）当0∆，即11a -时，2()210g x x ax =-+恒成立，即对任意2()(0,),()0g x x f x x'∈+∞=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． 2分 （ii ）当0∆>，即1a <-或1a >．①当1a <-时，2()210g x x ax =-+>恒成立，即对任意2()(0,),()0g x x f x x '∈+∞=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． 3分②当1a >时，由2210x ax -+=，解得a a αβ==所以当0x α<<时，()0g x >；当x αβ<<时，()0g x <；当x β>时，()0g x >，所以在(()0,a a ⋃+∞上，()0f x '>，在(a a 上，()0f x '<，所以函数()f x在(0,a和()a +∞上单调递增；在(a a 上单调递减． 6分综上，当1a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x在(0,a和()a +∞上单调递增，在(a a +上单调递减． 7分（2）证明：由121211ln ln x x x x -=+，得12ln ln 0x x ->，所以120x x >>， 8分 因为121211ln ln x x x x -=+，所以1112221211ln x x x x x x x x x ++==⋅，令12x t x =，则111,ln t t t x +>=， 所以1211,ln ln t t x x t t t++==， 所以2121ln t x x t t--=． 10分所以要证122x x >+，只要证212ln t t t ->，即证12ln (1)t t t t->>． 11分 由（1）可知，当1a =时，所以1()2ln f x x x x=--在(0,)+∞上是增函数， 所以，当1t >时，()(1)0f t f >=，即12ln (1)t t t t->>成立， 所以122x x >+成立． 12分22．解：（1）由l 的参数方程得l的普通方程为y =，所以l 的倾斜角为23π，所以直线l 的极坐标方程为2()3πθρ=∈R ； 2分 由曲线C 的参数方程得C 的普通方程为22(1)1x y -+=，又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． 4分（2）由||2OB =，则B 的极坐标为22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设(,)22A ππρθθ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则112||||sin 22cos sin 223AOBSOA OB AOB πθθ⎛⎫=⋅∠=⨯⨯- ⎪⎝⎭212cos sin sin cos 2θθθθθθ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭1cos 21sin 2sin 2223θπθθ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭8分当sin 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即12πθ=时，()max1AOB S =． 10分 23．（1）证明：因为222ab a b +（当且仅当a b =时等号成立），222bc b c +（当且仅当b c =时等号成立），222ca c a +（当且仅当c a =时等号成立）， 所以()()()2222222222222()222a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++=+++++++++++++()2223a b c =++，由1a b c ++=，得22213a b c ++≥（当且仅当13a b c ===时等号成立）． 5分 （2）解：设max{,,}M a b b c c a =+++，则,,M a b M b c M c a +++， 从而32()2M a b c ++=，即23M． 8分当且仅当,1a b b c c a a b c +=+=+++=，即13a b c ===时， 2min{max{,,}}3a b b c c a +++=． 10分。