线性代数期末试卷及参考答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=（ ）(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。
（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（）（A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分)1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
（）2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
（）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。
( )5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。
（） 三、填空题（每小题4分，共20分）1．01210n n -。
2．A 为3阶矩阵，且满足=A 3,则1-A =______，*3A =。
3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，4120α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。
4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234444ηη⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为。
5．设23111503A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=2，则a =。
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB ，且121342122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B 。
2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)αβ=--=--，而TA αβ=，求n A 。
3.已知方程组1123211232123x x ax x x x x ax x a ⎧++=-⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-++=⎩有无穷多解，求a 以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B =0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E -A |=0。
（1）求矩阵A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E |。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。
2．设A 为m n ⨯矩阵，且的秩()R A 为n ，判断TA A 是否为正定阵？证明你的结论。
线性代数试卷解答一、1．（F ）（A A nλλ=） 2．（T ）3．（F ）。
如反例：100010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000010001B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
4．（T ）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F ） 二、1．选B 。
初等矩阵一定是可逆的。
2．选B 。
A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与1α，2α，3α等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。
3．选C 。
由052=-+E A A ⇒()2232()3A A E E A E A E E +-=⇒+-=，()112()3A E A E -⇒+=-)。
4．选D 。
A 错误，因为n m <，不能保证()(|)R A R A b =；B 错误，0=Ax 的基础解系含有()A R n -个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R A n R A b n =<=+，b Ax =无解；D 正确，因为()R A n =。
5．选A 。
A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得1112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--==，因此,A B 都相似于同一个对角矩阵。
三、1．()!11n n +-（按第一列展开） 2．31；53（*A 3=233A ）3．相关（因为向量个数大于向量维数）。
124,,ααα。
因为3122ααα=+，124| |0A ααα=≠。
4．()()TTk 42024321--+。
因为()3=A R ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为1322ηηη-+，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5．6=a （())02=⇒=A A R 四、1．解法一：AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-。
将A E -与A 组成一个矩阵(|)A E A -，用初等行变换求1(|())E A E A --。
()|A E A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233121120)(31r r --⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛22112124323310000121313,r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12112014323010000123r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121120222110100001322r r -100001011222001325⎛⎫⎪- ⎪⎪---⎝⎭3r -100001011222001325⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 23r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--523100301010100001。
故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523301100B 。
解法二：AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-。
1021101()332113121326A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因此1001()103325B A E A -⎛⎫⎪⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
2．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------==111111*********1T A αβ，A A 42-=， ()()11()()()()()()44n n n T T T T T T T T A A αβαβαβαβαβαβαβαβ--===-=-。
3．解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<，因此其系数行列式11||112011aA a=-=-。
即1-=a 或4=a 。
当1-=a 时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111A b --⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪--⎝⎭11012301020000⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭于是()(|)23R A R A b ==<，方程组有无穷多解。
分别求出其导出组的一个基础解系13122T-⎛⎫⎪⎝⎭，原方程组的一个特解()100T -，故1-=a 时，方程组有无穷多解，其通解为()13100122TTk -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当4=a 时增广矩阵1141(|)112114116A b -⎛⎫ ⎪⎪=--→⎪ ⎪-⎝⎭1141022000015-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2(|)3R A R A b =<=，此时方程组无解。
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
222111111111(|)112102200220110111100(1)(4)12a a a A b a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=--→--→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎝⎭+-- ⎪⎝⎭由于该方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<。
因此21(1)(4)102a a a +-=-=，即1a =-。
求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。
二次型的矩阵122224242A -⎛⎫⎪⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，2122||224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--因此得到其特征值为122λλ==，37λ=-。
再求特征值的特征向量。
解方程组(2)0A E x -=，得对应于特征值为122λλ==的两个线性无关的特征向量()1210Tη=-，()2201Tη=。
解方程组(7)0A E x +=得对应于特征值为37λ=-的一个特征向量()3122Tη=-。
再将()1210Tη=-，()2201Tη=正交化为()1210Tp =-，224155Tp ⎛⎫=⎪⎝⎭。
最后将()1210T p =-，224155Tp ⎛⎫=⎪⎝⎭，()3122T η=-单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3235032155455311552552，其标准形为232221722y y y f -+=。
5．解：（1）由02=-=+A E A E 知-1，2为A 的特征值。
02=+B AB ⇒()02=+B E A ，故-2为A 的特征值，又B 的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A 的特征值为-1，2，-2，-2。
（2）能相似对角化。
因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。
（3）E A 3+的特征值为2，5，1，1。
故E A 3+=10。
五、1．BA AB -为对称矩阵。
证明：()()()T T T BA AB BA AB -=-=T T TT B A A B -=()B A BA ---=BA AB -，所以BA AB -为对称矩阵。
2．A A T为正定矩阵。
证明：由()A A A A T TT=知A A T 为对称矩阵。