第二章 回归模型思考与练习参考答案2.1参考答案⑴答：解释变量为确定型变量、互不相关（无多重共线性）；随机误差项零的值、同方差、非自相关；解释变量与随机误差项不相关。

现实经济中，这些假定难以成立。

要解决这些问题就得对古典回归理论做进一步发展，这就产生了现代回归理论。

⑵答：总体方差是总体回归模型中随机误差项i ε的方差；参数估计误差则属于样本回归模型中的概念，通常是指参数估计的均方误。

参数估计的均方误为 MSE ()i i b b ˆ=E ()2ˆi i b b -=D ()i b ˆ=()[]iiu 12-'χχσ 即根据参数估计的无偏线，参数估计的均方误与其方差相等。

而参数估计的方差又源于总体方差。

因此，参数估计误差是总体方差的表现，总体方差是参数估计误差的根源。

⑶答：总体回归模型 ()i i i x y E y ε+=样本回归模型i i i e yy +=ˆ i ε是因变量y 的个别值i y 与因变量y 对i x 的总体回归函数值()i x y E 的偏差；i e 为因变量y 的观测值i y 与因变量y 的样本回归函数值i yˆ的偏差。

i e 在概念上类似于i ε，是对i ε的估计。

对于既定理论模型，OLS 法能使模型估计的拟和误差达最小。

但或许我们可选择更理想的理论模型，从而进一步提高模型对数据的拟和程度。

⑷答：2R 检验说明模型对样本数据的拟和程度；F 检验说明模型对总体经济关系的近似程度。

()()()kk n R R k n Model Total k Model k m Error k Model F 111122--•-=---=--= 由02>∂∂RF 可知，F 是2R 的单调增函数。

对每一个临界值∂F ，都可以找到一个2∂R 与之对应，当22∂>R R 时便有∂>F F 。

⑸答：在古典回归模型假定成立的条件下，OLS 估计是所有的线形无偏估计量中的有效估计量。

⑹答：如果模型通过了F 检验，则表明模型中所有解释变量对被解释变量的影响显著。

但这并不说明多个解释变量的影响都是显著的。

建模开始时，常根据先验知识尽可能找出影响被解释变量的所有因素，这样就可能会选择不重要的因素作为解释变量。

对单个解释变量的显著性检验可以剔除这些不重要的影响因素。

⑺答：考虑两个经济变量y 与x ，及一组观测值(){},,2,1,,n i y x i i =。

若假定这两个变量都是随机的，要确定相关关系的存在性及相关程度，则相应的统计分析就是相关分析。

若假定两变量一为随机变量一为确定变量，则相应的统计分析就是回归分析。

回归分析以随机变量为因变量而确定型变量为自变量，研究自变量对因变量的影响，对因变量值进行预测。

相关分析是回归分析的基础，进行回归分析之前，通常要检验自变量与因变量间、自变量与自变量间是否存在相关关系。

2.2参考答案答：考虑一元线形回归模型,i i i bx a y ε++= I=1,2,……,n根据古典回归模型的假定，我们有：0)(=i E ε；0)(,=J I E εε， j i ≠； 2)(σε=i D 。

从而①i i i i bx a E bx a y E +=++=)()(ε②2)()()(σεε==++=i i i i D bx a D y D③0),()])([(),(==--=j i j j i i j i E Ey y Ey y E y y Cov εε2.3参考答案答：对于样本回归模型e B x y +=ˆ，使用OLS 法求解Bˆ的微分极值条件为0='e x 。

展开X 矩阵，有,,1[1x e x ='…,0]='e x k①0111121='=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑e e e e e n i ②0)(ˆˆ)ˆ(ˆˆˆˆˆ2121=''=''='='=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑e x B e x B e B x e y e e e y y y e y n n i i 2.4 参考答案答：注意区分模型与函数、总体与样本。

模型是满足某些假设条件的方程；样本是来自总体的随机抽样。

总体回归模型：i i i i i bx a x y E y εε++=+=)( 总体回归函数：i i bx a x y E +=)(样本回归模型：ii i i i e x b a e y y ++=+=ˆˆˆ 样本回归函数：ii x b a y ˆˆˆ+= 因此，⑵⑷⑺正确。

2.5 参考答案证：设有一元样本回归模型形式如下：e x b b e y y ++=+=110ˆ1ˆˆ 令1110'-=nI M n ，则0M 为离差幂等阵，并且有010=M 和e e M =0。

由)ˆ()ˆ1ˆ(ˆ11011000x b M x b b M y M =+=，从而 回归模型的判定系数为y M y x M x b y M y b x M b x y M y y M y R 01012101011002)ˆ()ˆ()ˆ(ˆˆ''=''=''= y 与x 的相关系数为2101011101210101012101010121010101][ˆ][ˆ][)ˆ(][1y M y x M x b x M x y M y x M x y M x y M y x M x e y M x y M y x M x y M x r yx '''='''=''+'='''=进而 yM y x M x b r yx 0101212)ˆ()(1''= 因此 22)(1R r yx = 证毕。

注意：证明过程中隐含了OLS 法求解的微分极值条件[]011='='e x e x 。

于是，有 e e e n e e n I e M n =-='-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=0)1(111110 0101='='e x e M x2.6 参考答案解：αα-=⎭⎬⎫≤⎪⎩⎪⎨⎧-1)ˆ(ˆ2t b S b b prob i i i )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ22i i i i i b S t b b b S t b •+≤≤•-αα，置信度%100)1(α-。

2.7参考答案证：显著性水平为α时，2αt t i 。

此处隐含了一个零假设0:0=b H 。

从而 2)ˆ(ˆ)ˆ(ˆαt b S b b S b b t i i i i i i =-= 即)ˆ(ˆ2i i b S t b α 于是，置信度为%100)1(α-的置信区间]ˆ,ˆ[tS b tS b ii +-必不包含0。

2.8参考答案解：i b 的95%置信域为)]ˆ(ˆ),ˆ(ˆ[025.0025.0ii i i b S t b b S t b +-。

当所取样本容量30≥n 时，2025.0≈t 。

此时，i b 的95%置信域为[)]ˆ(2ˆ),ˆ(2ˆ[ii i i b S b b S b +-。

对于例4，L b 的置信域近似地为]27.0220.1,27.0220.1[⨯+⨯-k b 的置信域（95%）近似地为]05.0283.0,05.0283.0[⨯+⨯-① 边际产出L MP 和K MP 的95%置信域② 42.4=L t 和53.14=K t ,均大于1.2)1217(025.0=--t这表明L b 和K b 的95%置信域均不包含零。

换句话说，显著性水平为0.05时，L b 和K b 均显著非零。

2.9参考答案答：判定系数2R 是解释变量个数K 的单调增函数，即0)(2>∆∆K R 。

为克服这种缺陷，可采用调整后的判定系数2R 。

2R 可以消除K 的影响，即0)(2=∆∆K R 。

由1112----=n Total k n Error R 。

可知样本容量n 充分大时，221R TotalError R =-≈。

2.10参考答案解：①5.0ln ln =∆∆xy 为收入需求弹性； 2.0ln ln -=∆∆py 为价格需求弹性。

②%10ln =∆=∆p p p ，则%102.0ln ⨯-=∆=∆y y y③ 价格上涨10%，即%10ln =∆p ；需求水平保持不变，即0ln =∆y 。

由p x y ln 2.0ln 5.0ln ∆-∆=∆， 得%4ln =∆=∆xx x2.11参考答案解：回归方程下，第一行圆括号内的数值为)ˆ(i b S ，第二行为i t 。

在零假设0H ：0=i b 的条件下，)ˆ()0ˆ(ii i b S b t -=。

由51.1731.1052.180=及16.55.0)58.2(-=-，可以判定各统计量的属性。

2.12参考答案解：选择模型的步骤及准则：① 先验检验：不合经济原理的模型要排除；② 2R 检验；③ t 检验：2<t 的参数被认为不显著。

2.13参考答案解：① t t x y100.098.862ˆ+= )ˆ(ib S 63.58 0.002 i t 13.57 48.54i t prob > 0.000 0.000Adjusted R-squared 0.992S.E. of regression 197.89F prob > 0.0000100.0=∆∆x y 表明GNP 每增一亿，则财政收入增加0.1亿。

②00.86318.78017100.098.862100.098.862ˆ19981998≈⨯+=+=x y点预测值。

1.2)120(11ˆ025.019981998=--≤+-K t n S yy n=20,k=1 S=197.8983.425ˆ19981998≤-yy 因此，1998年财政收入的95%置信域为[8205.17，9056.83]，这也就是显著性水平为0.05的预测区间。

2.14 参考答案解：①②2191.005.053.158ˆt t t x x y-+= )ˆ(ib S 121.81 0.005 0.99 i t 1.30 10.55 –0.92i t prob 0.23 0.000 0.38Adjusted R-squared 0.93S.E. of regression 20.22F prob 0.00拟合优度高，F 检验显著，但t 检验表明常数虚拟变量和变量2x 均不显著。

③ 2120184.000038.06837.2)(t t t t x x x y -+=)ˆ(ib S 0.9970 3.83E-05 0.0081 i t 2.69 9.99 -2.27i t prob 0.027 0.00 0.052Adjusted R-squared 0.92S.E. of regression 0.16F-statistic 57.40F prob 0.00被解释变量经修改后消除了价格因素的影响，从而反映了“实际”的消费支出。