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一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程: ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时,得到dx x f y g dy)()(=,两边积分即可得到结果; 当0)(0=ηg 时,则0)(η=x y 也是方程的解。

例1.1、xy dxdy= 解:当0≠y 时,有xdx ydy=,两边积分得到)(2ln 2为常数C Cx y +=所以)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解;综上所述,原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时,可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=,两边积分可得结果; 当0)(0=y N 时,0y y =为原方程的解,当0(0=)x P 时,0x x =为原方程的解。

例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解:当0)1)(1(22≠--y x 时,有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C Cy x ,所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ;当0)1)(1(22=--y x 时,也是原方程的解;综上所述,原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。

⑵可化为变量可分离方程的方程:①、形如)(xy g dx dy = 解法:令x y u =,则udx xdu dy +=,代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程,得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。

②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法:令by ax u +=,则b du adx dy +=,代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程,得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。

③、形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法:01、02211=b a b a ,转化为)(by ax G dxdy+=,下同①; 02、02211≠b a b a ,⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ,令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u 得到,)()()(22112211u v g uv b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=,下同②; 还有几类:xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( 以上都可以化为变量可分离方程。

例2.1、25--+-=y x y x dx dy 解:令2--=y x u ,则du dx dy -=,代入得到uu dx du 71+=-,有dx udu 7-= 所以)(722为常数C Cx u +-=,把u 代入得到)(7222为常数)(C Cx y x =+--。

例2.2、1212+-+-=y x y x dx dy 解:由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ,令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ,有⎩⎨⎧==du dx dv dy ,代入得到uvu vv u v u du dv 21222--=--=,令u v t =,有udt tdu dv +=,代入得到t t du dt u t 212--=+,化简得到,)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=,有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=,所以有)(1121C e C tt C u ±=+-=,,故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x(3)、一阶线性微分方程: 一般形式:)()()01x h y x a dxdyx a =+( 标准形式:)()(x Q y x P dxdy=+ 解法:1、直接带公式:2、积分因子法:])()([)(1)(⎰+=C dx x Q x x x y μμ,⎰=dx x P e x )()(μ 3、IVP :)()(x Q y x P dxdy=+,00)(y x y = 例3、1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解:化简方程为:n x x e y x n dx dy )1(1+=+-,则;)1()(,1)(n x x e x Q x nx P +=+-=代入公式得到n dxx ndx x P x e e x -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ 所以,)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=⎰- (4)、恰当方程:形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=∃=+ 解法:先判断是否是恰当方程:如果有xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立,那么原方程是个恰当方程,找出一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =;例4、0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解:由题意得到,322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到,原方程是一个恰当方程; 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G t s y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=,两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ,得到34)(y y ='ϕ,有4)(y y =ϕ, 故42233),(y y x x y x G ++=,由0=dG ,得到 (5)、积分因子法:方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(=+∃=+Ndy Mdx t s y x dy y x N dx y x M μμμ,那么称),(y x μ是原方程的积分因子;积分因子不唯一。

①当且仅当)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂,原方程有只与x 有关的积分因子,且为⎰=dx x e y x )(),(ϕμ,两边同乘以),(y x μ,化为恰当方程,下同(4)。

②当且仅当)(y MxNy M φ=-∂∂-∂∂,原方程有只与y 有关的积分因子,且为⎰=dy y e y x )(),(φμ,两边同乘以),(y x μ,化为恰当方程,下同(4)。

例5.1、02)3(2=++xydy dx y e x解:由xy y x N y e y x M x 2),(,3),(2=+=得y y y xNy M 426=-=∂∂-∂∂,且有x x N x Ny M 2)(==∂∂-∂∂ϕ,有22),(x ey x dxx =⎰=μ,原方程两边同乘2x ,得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x ,得到解为例5.2、0)(3=+-dy y x ydx解:由题意得到,)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==,有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ,有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ,原方程两边同乘2-y ,得到0)2()(22=-=--+y y x d dy y y x y dx ,得到原方程的解为: (6)、贝努力方程: 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+, 解法:令n y u -=1,有dy y n du n --=)1(,代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+,下同(3) 例6、26xy xydx dy -= 解:令1-=y u ,有dy y du 2--=,代入得到x u x dx du =+6,则x x Q xx P ==)(,6)(, 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ,)(,8][)(6266为常数C x C x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-,把u 代入得到)(,8162为常数C x C x y +=. (7)、一阶隐式微分方程:一般形式:0),,(='y y x F ,解不出y '的称为一阶隐式微分方程。

下面介绍四种类型: ①、形如),(dxdyx f y =,一般解法:令dxdyp =,代入得到),(p x f y =,两边对x 求导得到dx dp p f x f p ∂∂+∂∂=,这是关于x ,p 的一阶线性微分方程,仿照(3), 1、得出解为为常数C C x p ),,(ϕ=,那么原方程的通解为 2、得出解为为常数C C p x ),,(φ=,那么原方程的通解为 3、得出解为为常数C C p x ,0),,(=Φ,那么原方程的通解为 ②、形如),(dxdyy f x = 一般解法:令dxdyp =,代入有),(p y f x =,两边对y 求导,得到dy dp p f y f p ∂∂+∂∂=1,此方程是一阶微分方程,可以按照以上(1)—(5)求出通解为常数C C p y ,0),,(=Φ,那么原方程的通解为 ③、形如0),(='y x F一般解法:设)(,)()(为参数t t y t x ⎩⎨⎧='=φϕ,dt t t dx y dy )()(ϕφ'='=,两边积分得到⎰+'=为常数C C dt t t y ,)()(ϕφ,于是有原方程的通解为④、形如0),(='y y F 一般解法:设)(,)()(为参数t t y t y ⎩⎨⎧='=φϕ,由关系式dx y dy '=得dx t dt t )()(φϕ=',有dt t t dx )()(φϕ'=,两边积分得到⎰+'=为常数,C C dt t t x )()(φϕ,于是有 例7.1 y y x '+='13 解:令y p '=,得到31p p x +=,两边对y 求导,得到dydpp p p p ))1(31(143+-=, 有dp pp dy )32(32--=,得到为常数C C p p y ,2322++=,于是通解为 例7.2 y e y y ''=2解:令y p '=,得到p e p y 2=,两边对x 求导,得到dxdpe p p p p)2(2+=,有 dp e p dx p )2(+=,两边积分得到为常数C C e p x p ,)1(++=,于是通解为例7.3 122='+y x 解:设,sin cos ⎩⎨⎧='=t y t x 有dt t dt t t dx y dy 212cos )sin (sin -=-⋅='=,所以 于是通解为 例7.4 1)1(22='-y y解:设,cos 1sin ⎪⎩⎪⎨⎧=='t y t y 有)tan (cos sin 1cos sin 22t d t dt dt t t t y dy dx -=-=-='=,所以 于是通解为 (8)、里卡蒂方程: 一般形式:)()()(2x R y x Q y x P dxdy++= 一般解法:先找出一个特解)(0x y ,那么令zy y 10+=,有dxdzz dx dy dx dy 201-=,代入原方程得到)()1)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-, 化简得到 0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz,为一阶线性微分方程,解出那么原方程的通解为 例8 0)2(22=-+'xy y x 解:我们可以找到一个特解xy 10=,验证:201xy -=',代入满足原方程。

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