(5) aij bij cij ; (6)ri krj
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
a A
k 1 ki
n
kj
D
D , i j; ij 0, i j .
或 D , i j; a ik A jk D ij 0, i j . k 1 1, i j; 其中 ij 0, i j .
2 3
4
上两式是恒等式，故同次幂系数相等。 而D=-A45，故 D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)
方法四：降级法。（行列式中某一行（列）只有一、
二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）
例3 证明
x 0 Dn 0 an 1 x 0 a n 1 0 1 0 an 2 0 0 0 0 1 x a1
有技巧）
• 方法一：三角形法
例1
Dn
1 a1 1 1 1 a2 1 1
1 1
1 an
(ai 0)
1 a1 a1 解：原式= a1
c1 n
1

1
a2 0 0
1
an
1
i2
n
a1 c ai i
a1 1 a1 i 2 ai 0 0
a3 an a3 an
解 将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai x ai
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1

x ai a2 a3
D n n! ( xi x j)
n i j 1
n! ( 2 1)( 3 1)( n 1) ( 3 2)( 4 2)( n 2)[n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2)! 2!1!.
2、
计算
x
a1
a2
a1 x a 2 D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
a11
a12
a13 a33
4a11 4a31
2a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a32
a13 a23 a33
6.若 a21 a22 a31 a32
= ；
a23 1, 则 4a21
7、n为奇数时
0 a12 a13 a1 n a12 0 a23 a2 n a13 a23 0 a3 n a1 n a2 n a3 n = 0
证法三：Dn 0 0 0 x a1 x
n n 1
c1 xc2 x n 1cn

1 x 0
0 0 1 0 0 x
0 0 1
an an1 an 2 a2 x a1
按第一列展开即可得结果。
证法四：从第一列开始，前一列乘1/x加 到后一列上去，化成下三角行列式 方法五 递推法
an
a1a2 an1 an Dn1
a1a2 an1 an (a1a2 an2 an1 Dn2 )
方法三：升级法。看例1
1 1 解：原式= 0 1 a 1 0 1
c1
1 1 1 1 1 a1 1 an 1 0
Dn 2 cos Dn1 Dn 2 .
由归纳假设,
D n 1 cos(n 1) , D cos(n 2) ,
n 2
Dn 2 cos cos(n 1) cos(n 2) [cos n cos(n 2) ] cos(n 2) cos n ;
p1 p2 pn
列取和.
n阶行列式D亦可定义为 D
p1 p2 pn
( 1) a p11 a p2 2 a pn n ,
t
其中t为行标排列 p1 p 2 p n 的逆序数.
4. n阶行列式的性质
(1) D D;
T
(2) ri rj ; (4) ri : rj k;
(3) ri k ;
因为 D1 cos , cos D2 1 1 2 cos 2 1 cos 2 , cos 2
所以,当n 1, n 2时, 结论成立. 假设对阶数小于 的行列式结论成立 下证对 n ,
于阶数等于n的行列式也成立 现将 D n 按最后一行 . 展开, 得
cos 1 0 0 0 cos 1 0 2cos 0 0 1
1 1

1 0 an
a i 1 ci i2
1
n
a1 1 i 1 ai 0 0
n
a1 0 0 an
例2 计算
1 a D 2 a 4 a
1 b b2 4 b
1 b 2 b b b
3 4
1 c c2 4 c
1 c 2 c c c
3 4
1 d d2 4 d
n
a2 0 0 an
1 a1 an (1 ) i 1 ai
1 1 a1
另解：原式= a1 an
1 a1 1 1 a2 1 an

1 a1 1 a2
1 a2 1 an
1 1 an
方法二：拆项法。看例1
解：原式=
1 a1 1 1 1 1 1 a2 1 1 1 1 1 a1 1 1 1 a2 1 0 0
1
0

0 0 0
0 0 0
Dn ( 1)n n1
2cos 1 1 2cos 0 0 0 0 0
2cos 0 0 1 0 1
2cos 1 1 2cos 0 0 0 0
0 0 0 0 2cos 1 1 2cos
如例1的第二种解法；例3的第二种解法
方法六
例4
用数学归纳法
0 0 0 0 0 0 2cos 1 1 2cos
证明
cos 1 0 1 2cos 1 0 1 2cos Dn 0 0 0 0 0 0 cos n .
证 对阶数n用数学归纳法
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2

0 0
0 x an
( x a i ) ( x a i ).
i 1 i 1
n
n
a
2
b2 3. D c
2
d
2
1 a2 1 2 b 1 2 c 1 2 d
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 1 1
已知 abcd 1
解
a D b
2
a b c d
2
c2 d2
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1

1 1
1 a2 1 b2 1 c2 1 d2
1 d 2 d d d
3 4
1 解：构造 a 2 f ( x) a 3 a a
4
1 x 2 x x x
3 4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
f ( x) A15 A25 x A35 x A45 x A55 x
提取第一列的公因子，得
a1 a 2 a n x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1 1 1 1 a2 a3 x
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
；
8、已知四阶行列式
1 2 2 4 2 2 2 2 D 1 4 3 5 1 4 2 7
Mij是元素aij的余子式，则 M41-M42+M43+M44= .
x
9. 已知
1
1
2
1 f x 3 1
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
。
则x3 的系数为
二、计算行列式（除掌握概念与性质外还
所以对一切自然数 结论成立. n
练习
1
1、 计算
1
2

1
2n 2 2 3 32 3n . Dn n n
2
nn
解
1 1 Dn n! 1 1
1 2 3 n
1 2 2 3 n
2 2

1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
x a2
x n a1 x n1 an1 x an
证法一：按最后一行展开
1 0 0 Dn ( 1) an
n1
0 0 ( 1) an1
n 2
x 0 0 0 1 0
0 0
x 1 0 0
0 x 1 x 1 0 0 0 0 x 0
0 0 x 1 x 1 0 0 0 x 0 0 0 0 0 x