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行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 a1i A1i a2i A2i
ain Ain ani Ani
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1 Aj1 ai2 Aj2 a1i A1 j a2i A2 j
第15页
第16页
求A43.
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1 12 3
2.解方程 1 2 x 2 2 3
0
2 31 5
2 3 1 9 x2
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•3.计算下列行列式的值
0a 0 0
D4
0
c
0 0
b
0
0 0
00 xd
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4．用克兰姆法则解线性方程组
4x 3y z 1 3x 4y 7z 2 x 7y 6z 1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x 1 1 0 0 x
c2 c1
1 c1 x x
1
x 1
1 c3 c1 1 x
0
x
0 x4
1 x 1 1 1 c4 c1 1 x 0 0
1 1 1 1
10 0 0
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•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1
0 1
2 31；
1
2
5 3
1 3 4 2
4 1 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
3
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பைடு நூலகம்
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1
7•3. D 1
1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 x c1 c2 1 x c1c3 1 x c1c4
•51. 已知某4阶行列式的第2行元素依次是2, 1, m,6，第3行
元素的余子式的值依次是3,9, 3, 1，则m 7
第3行元素代数余子式的值依次是： 3, 9, (3), (1)
由代数余子式的性质得 23 (1)(9) m(3) 61 0
解得 m 7.
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计算行列式
① 利用行列式定义计算
*
*
3、 kai1
kain k ai1
ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4、若有两行(列)元素相同或对应成比例，行列式等于零
*
*
*
5、 bi1 ci1
bin cin bi1
bin ci1
cin
*
*
*
6、某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式值不变 ri krj (ci kc j )
ain Ajn 0 ani Anj 0，i j
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几类特殊行列式的值
a11 a12
1.
a22
a1n a11 a2n a21 a22
a11
a22
ann an1 an2
ann
ann
a11a22 ann
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典型习题
➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
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与代数余子式有关的计算
x1 1 2
•26. 函数f (x) 1 x 1 1 中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
(1)t(1234) x x x 1 (1)t(1243) x x 1 2x
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计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
a31 a32 a33
n阶行列式： a11 a12
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a1n
p1 p2 pn
Dn det(aij ) a21 a22
a2n
(1)t a1p1 a2 p2
anpn
an1 an2
ann
n!项
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行列式的性质
1、D DT 2、两行（列）互换，行列式变号 ri rj (ci c j )
第一章 行列式
小结与习题
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知识点
➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
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行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32