勾股定理1．勾股定理(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．(2)勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用a ，b 表示，斜边用c 表示，那么勾股定理可表示为：22a b c 2＋＝.(3) c 注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根据勾股定理可求出第三边的长．在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直角边还是斜边，然后再运用勾股定理或其变形进行解答．【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c . (1)若a ＝3，b ＝4，则c ＝__________； (2)若a ＝6，c ＝10，则b ＝__________；(3)若c ＝34，a ∶b ＝8∶15，则a ＝__________，b ＝__________； (4)若b ＝5，∠B ＝30°，则c ＝__________. 解析：(1)c 2＝a 2＋b 2＝25，则c ＝5. (2)b 2＝c 2－a 2＝64，则b ＝8.(3)∵a ∶b ＝8∶15，∴设a ＝8x (x ＞0)，b ＝15x . 又∵∠C ＝90°，c ＝34， ∴c 2＝a 2＋b 2＝(8x )2＋(15x )2， ∴c ＝17x ，∴17x ＝34，x ＝2， ∴a ＝16，b ＝30.(4)∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ＝10. 答案：(1)5 (2)8 (3)16 30 (4)10点拨：在直角三角形中，运用勾股定理求某一边的长时，先分清直角边和斜边，然后再利用勾股定理，可设未知数，通过建立方程(组)来解决．2．勾股定理的证明(1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明．如图所示网格图形中，每一个小方格的边长为1.的面积(2)结论：①两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即S A＋S B＝S C；②勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法．实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种．【例2】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，P是AC的中点，PD⊥BC，D为垂足，BC＝9，DC＝3，求AB的长．分析：由题可知∠BAC＝∠PDC＝90°，因此可以利用勾股定理进行计算．解：连接PB.∵BC＝9，DC＝3，∴BD＝6.在Rt△BDP中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2，即PD2＝PB2－BD2.在Rt△PDC中，由勾股定理，得PC2－CD2＝PD2，∴PB2－BD2＝PC2－CD2.∴PB2－36＝PC2－9，∴PB2－PC2＝27.又∵P为AC的中点，∴PB2－PC2＝PB2－AP2＝AB2＝27，∴AB＝3 3.3．运用勾股定理求边长(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么a2＋b2＝c2.(2)意义：勾股定理是直角三角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间的数量关系．(3)延伸：在直角三角形中，若两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么①a＝c2－b2；②b＝c2－a2；③c＝a2＋b2.在直角三角形中，知道其中任意两边，根据勾股定理就能求出第三边.运用勾股定理求边长，一定要注意弄清是求直角边还是斜边，注意是加还是减．【例3】小林是开发区中学升旗队的一名旗手，在升旗时发现从旗杆AB的顶端A处垂下的绳子比旗杆AB长1米，他拿着绳子的下端拉开至C处，绳子恰好完全伸直，测得点C 距旗杆底部B的距离是5米．请问：能根据这些条件求出旗杆的高度吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．解：能求出旗杆的高度．如图所示，BC＝5米．设AB＝x米，则AC＝(x＋1)米．在Rt△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即：x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.即AB＝12米．答：旗杆AB的高度为12米．4．勾股定理在等腰三角形中的应用等腰三角形两腰相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线相互重合，因此在等腰三角形中，通过作高可以将等腰三角形分成两个直角三角形，特别是底边上的高，将等腰三角形分解成两个全等的直角三角形．在等腰三角形中，底、腰、高三者之间知道任意两者都能求第三者．如图(1)、图(2)分两种情况：情况一：图(1)中，在AB(或AC)，BC，AD三个量中，已知两个量，根据勾股定理，可以直接求第三个量；情况二：图(2)中，①已知AB，BD求BC，可以先求AD，再求DC，再求出BC；②已知AB，BC求BD，可借助于BD2相等，列方程求出AD或DC，再求出BD；③已知BC，BD，可以列方程求AB.作为等腰三角形中的特殊三角形“等边三角形”，它的任一条高都具备“三线合一”性质，都能将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，并且这些直角三角形还是含30°角的直角三角形，因此，根据勾股定理，在边长、高、周长、面积四个量中，知道任何一个量都能求出其他三个量．【例4－1】如图所示，在等腰△ABC中，AB＝13，BC＝10，则底边上的高AD的长是()．A．11 B．12 C．13 D．14解析：因为△ABC是等腰三角形，AD是高，所以BD＝12BC＝5.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝132－52＝12，故选B.答案：B【例4－2】如图(1)，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．(1)(2)分析：要求BD的长，可构造直角三角形，使BD为该直角三角形中的边，如图(2)，过D作DF⊥BE于F，在Rt△DFB中运用勾股定理可求BD的长．解：过D作DF⊥BE于F.因为△DCE为等边三角形，所以DF也是△DCE的中线，所以CF＝12＝DC2 2CE＝1，所以BF＝BC＋CF＝2＋1＝3.在Rt△DFC中，由勾股定理，得DF－CF2＝22－12＝3.在Rt△DFB中，由勾股定理，得BD2＝BF2＋DF2＝32＋3＝12，所以BD＝2 3.5．勾股定理在含30°角的直角三角形中的应用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．所以在含30°角的直角三角形中只要知道一边，就可以求出任何一边的长．如：根据勾股定理可知，若最短边为1,2,3，…，那么斜边就是2,4,6，…，另一直角边就是3，23，33，…，即60°角所对的直角边和斜边分别是最短直角边的3倍和2倍．因此知道任意一边，就可以通过乘以或除以它们之间的倍数计算得出另两边．①已知30°角所对的直角边为a ，那么另一直角边为3a ，斜边为2a ；②已知斜边为c ，那么最短直角边为c 2，较长直角边为32c .【例5－1】在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，∠A ＝30°，则BC ＝__________，AC ＝__________.解析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，BC ＝12AB ＝5.根据勾股定理可知， AC ＝AB 2－BC 2＝102－52＝75＝5 3.答案：5 5 3【例5－2】等腰三角形一腰上的高为1，这条高与底边夹角为60°，则此三角形的面积是__________．解析：如图所示，因为∠DBC ＝60°，∠C ＝∠ABC ＝30°，所以在直角△ABD 中，∠BAD ＝60°，∠DBA ＝30°.根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以三边满足AD ∶AB ∶BD ＝1∶2∶3，所以AB ＝BD ×33×2＝1×233＝233＝AC .∴S ＝12×1×233＝33.答案：336．列方程在勾股定理中的应用在勾股定理的应用中，有时并不是已知两边求第三边，而很多时候只是告诉了两边之间的关系，因此常常需要列方程解决．方法：一般是设其中一边为x ，用含未知数x 的式子表示另一边，根据勾股定理构建方程，通过解方程，解决问题．如：在锐角△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC ＝14，AD ⊥BC ，垂足为D ，计算DA 的长度．我们可以通过设DB＝x，那么CD＝14－x，根据勾股定理，在Rt△ABD和Rt△ADC 中，分别用含x的式子表示出AD2＝152－x2和AD2＝132－(14－x)2，从而构造方程，通过解方程求出x，即DB，然后再求AD的长度．【例6－1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为()．A．24 B．12 C．28 D．30解析：∵a∶b＝3∶4，∴设a＝3k，b＝4k(k＞0)，由勾股定理，得9k2＋16k2＝100，解得k＝2，∴a＝6，b＝8，∴S△ABC＝12ab＝12×6×8＝24.故选A.答案：A【例6－2】矩形ABCD按如图所示折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8，BC＝10，求折痕AE的长．分析：根据已知，将条件转化到Rt△FCE中，求出FE，进而求出DE，再求出折痕AE.解：在Rt△ABF中，AB＝8，AF＝AD＝10，所以BF＝AF2－AB2＝102－82＝6，所以CF＝BC－BF＝4.设DE＝x，那么EF＝x，CE＝8－x，在Rt△FCE中，则有FE2＝CF2＋CE2，即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5，即EF＝5.在Rt△AEF中，AE＝AF2＋EF2＝102＋52＝5 5.7．勾股定理与面积法面积法是解决几何问题常用的一种方法，它巧妙地利用同一图形的面积的不同求法，通过计算的方式求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷、更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的解题方法．因为直角三角形的面积等于两直角边积的一半，也等于斜边乘以斜边上的高的一半，所以根据勾股定理求边长，再运用面积法求线段的长是这部分内容中常用的方法．如图所示，在Rt △ABC 中，AC ＝12，BC ＝5，求AB 边上的高CD .可根据勾股定理求出AB ＝13，再根据面积相等得到12AB ×CD ＝12AC ×BC ，即13×CD＝12×5，得CD ＝6013.因为直角三角形三边关系的特殊性，所以面积法通常用于直角三角形中求斜边上的高．【例7－1】直角三角形两直角边长分别为8和15，则这个直角三角形斜边上的高为( )．A ．8B ．15C ．17D ．12017解析：已知直角三角形两条直角边求斜边上的高时，采用面积法来求，根据是同一三角形的面积相等．先求出斜边等于17，再根据8×15＝17×斜边上的高，求得斜边上的高为12017. 答案：D 【例7－2】如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，若AB ＝10，AC ∶BC ＝3∶1，则CD 的长为( )．A ．310B ．3C ．10D ．6 解析：∵AC ∶BC ＝3∶1，∴设BC ＝k (k ＞0)，则AC ＝3k .在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴9k 2＋k 2＝100.∴k ＝10，∴AC ＝310，BC ＝10.∴S △ABC ＝12×310×10＝15.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×10·CD ＝5CD .∴5CD ＝15，∴CD ＝3.故选B.答案：B8．利用勾股定理解决与三角形相关的实际问题勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．利用勾股定理，可以解决直角三角形的有关计算和证明问题，还可以解决生产生活中的一些实际问题．在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)．在有些问题中，必须构造直角三角形，建立勾股定理模型来解决．勾股定理使用的前提条件是三角形是直角三角形，对一般三角形一定不能使用．【例8】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12米，则树高为()．A．13米B．17米C．18米D．22米解析：根据题意AC＝5米，且树垂直于地面，于是树的两部分和地面的一部分构成了一个直角三角形，运用勾股定理可以计算出BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169，所以BC＝13米，所以树高为AC＋BC＝5＋13＝18(米)．答案：C树高包括AC部分，不要忽略它．。