数学学科知识与折纸游戏相结合的教学案例
折纸游戏是能带给我们许多美好回忆的童年游戏之一。
其实，对于不同年龄阶段的学生，数学教师都可以通过折纸游戏设计出一些相关的数学问题，让学生在玩中学习，这样不但可以提高学生的动手能力，还可以培养学生学习数学的兴趣。
下面是作者在课堂中观察到的教师将数学学科知识与折纸游戏相结合的教学案例。
1 在折法中体会数学学科知识
1.从一个矩形式样的纸张，做成一个正方形（图1）。
（其中虚线为折痕，下同）
设计
问题：图1的折法体现了正方形的什么性质？（正方形是邻边相等的矩形）
2.在正方形中折出一个内接正方形（图2，图3）。
设计问题1：图2和图3的折法中有共性吗？（正方形与它的内接正方形有共同的对称中心，且对角线互相垂直平分）
设计问题2：利用正方形及其内接正方
形给出勾股定理的一种证明方法。
（如图4
中，(a+b)2=c 2+4⨯2
1ab,化简后得a 2+b 2=c 2） 设计问题3：进一步利用弦图给出勾股定理的另一种证明方法以及不等式
a 2+
b 2≥2ab 的图形证法。
（如图5中，4⨯2
1ab+(b-a)2= c 2, 化简后得a 2+b 2=c 2；又c 2= a 2+b 2=4⨯21ab+(b-a)2≥4⨯2
1ab ，即a 2+b 2≥2ab ）
2 用数学学科知识检验折法 1.折抛物线。
在纸片离下底边2厘米处设置一点F，如图7所示方法,将纸折20到30次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓，该曲线便是一条抛物线。
简证，如图8所示建立直角坐标系，过F作折边FA的垂线交折痕于点M，过M做纸片下底边的垂线，设垂足为N，易证MF=MN，而点M是一系列折痕勾画成的曲线上任意一点，根据抛物线的定义，显然点M的轨迹是抛物线。
而且可进一步得出该抛物线的一个标准方程为x2=4y。
1
2.折椭圆。
（1）
拿出事先准备好的圆形纸片，在纸片上任意给定一不同于圆心O的点P，然后折纸叠片（如图9），使纸片折叠后的圆弧恰好过P点。
反复折叠纸片，使圆的圆周上有一点落于给定点P，折叠数次，折痕便构成一个椭圆（如图10）。
（2）折叠出的椭圆是哪个点的轨迹？
如图11，A是圆周上任意一点，O是圆心，该椭圆是AO连线与AP中垂线GD 交点C的轨迹。
（3）点C的轨迹为什么是椭圆呢？
连PA，线段PA的中垂线GD即为每次的折痕，又是该椭圆的切线.故|CP|=|CA|，于是|CO|+|CP|=|CO|+|CA|=定值（圆O的半径R，且R>|OP|），据椭圆的定义知，点C的轨迹是椭圆，O，P两点为该椭圆的焦点。
2
3.折双曲线。
1刘智强,朱哲.圆锥曲线概念教学的一种创新设计与思考[J].数学通讯,2003,(17):4-6
2张维忠.数学中的纸折.中学数学教学参考,2003,(8):63-64
把方形纸片剪成含有一段圆弧的如图12所示的形状。
如图13所示在圆弧上取一点M,把纸片折起，使M 点与F 点重合，抹平纸片，就得到一条折痕l.另换一点再折起与F 点重合，抹平，又得到另一条折痕.如此继续下去，得到若干条折痕，便可得到双曲线的一支,如图14所示。
简证，如图15所示，连结M 所在圆弧的圆心O 与M ，延长使之交l 于点A ，可知|AF|=|AM|，∴|AO|-|AF|=|AO|-|AM|=|OM|=定值，若在l 上另取不同于A 的任意一点B 可知|BO| - |BF| =|BO|-|BM|<|OM|，即l 上只有A 点满足条件。
A 点是l 与该双曲线的唯一公共点，l 是双曲线的切线。
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3 折纸与解题
1.证明三角形内角和等于180︒。
取任意形状的三角形，并沿图16所示的点
划线（横的为中位线）折叠。
a ︒+
b ︒+
c ︒=180︒−它们形成一个平角。
2.在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC
上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A
正好落在边BC 上。
AD 的长度的最小值为 。
（2008
年浙江省高中数学竞赛试题）
如图17，设,A D x A D E α=∠=，作△ADE 关于DE 的对
称图形，A 的对称点G 落在BC 上。
在△DGB 中，
1sin sin(233)x
x π
πα--
=2sin(2)3x α-⇒=当sin(2)13πα-=
时，即3min x ==。
3.一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA=a 。
折叠纸片，使圆周上某一点A'刚好与A 点重合，这样的每一种折法都留下一条直线折痕，当A'取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。
（2003年全国高中数学联赛试题）
该题用折纸的方法解则相当简洁：由折法知，A'、A 两点关
于折痕所在直线l 对称（如图18），即l 为线段AA'的垂直平分线。
连结OA'交l 于P ，则PO+PA=PO+PA'=OA'=R 。
故点P 在以O 、A 为焦点，长轴长为R 的椭圆上。
设P'是直线l 上不同于P 的任一点，则P'O+P'A=
P'O+P'A' >OA'=R 。
所以，P'点在上述椭圆的外部。
3张颖.用纸折圆锥曲线.数学通讯[J]
.2001,(14):94-95
故折痕所在直线l 上点的集合为以O 、A 为焦点，R 为长轴的椭圆上或外部。
若以OA 所在直线为x 轴，以线段OA 的中垂线为y 轴建立直角坐标系还可以得出椭圆边界的一个标准方程1)2
()2()2(2
22
22=-+a R y R x 4
4郑叶娇.从折纸探讨一道数学竞赛题的解法[J].中学教研(数学),2004(8):35-36。