教学过程试真题1．(2015·山东，1，易)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝() A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)2．(2015· 广东，1，易)若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝()A．{0，－1} B．{1}C．{0} D．{－1，1}3．(2015·课标Ⅱ，1，易)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1，3) B．(－1，0)C．(0，2) D．(2，3)4．(2015·课标Ⅰ，1，易)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．25．(2015·安徽，2，易)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A．{1，2，5，6} B．{1}C．{2} D．{1，2，3，4}考向1集合的基本概念集合的基本概念(1)集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：a∈A或a∉A.(3)常见集合的符号表示名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N N*或N＋Z Q R C(4)集合的表示法：列举法；描述法；图示法．元素互异性的应用：①利用集合元素的互异性找到解题的切入点；②在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．ax＋1＝0中只有一个元素，则a＝()(1)(2013·江西，2)若集合A＝{x∈R|ax2＋}A．4 B．2 C．0 D．0或4解决集合基本概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)利用元素与集合间的关系求字母的值时，一要注意分类讨论思想的应用，二要注意元素互异性的检验．考向2集合间的关系1．集合间的关系名称自然语言描述符号表示Venn图表示子集如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素a∈B，且a∉A，则称集合A是集合B的真子集A B(或B A)相等集合A中的任一元素都是集合B中的元素，集合B中的任一元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A与集合B相等A＝B空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即∅⊆A，∅B(B≠∅)．2．集合的子集个数若集合A中有n个元素，则其子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(1)(2013·福建，3)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为()A．2 B．3 C．4 D．16(2)(2012·课标全国，1)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅(3)(2012·大纲全国，2)已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或31.判断集合间的关系的方法(1)判断两集合的关系一般有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)解决这类题目的关键是充分理解子集和真子集的概念．2．根据两集合间的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行分类讨论，解题时注意区间端点的取舍．(2015·安徽蚌埠一模，13)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围为________．考向3集合的基本运算1．集合的运算及性质名称交集并集补集符号A∩B A∪B∁U A数学语言A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}图形运算性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩∅＝∅A∪B＝B∪A，A∪A＝A，B⊆A∪B，A⊆A∪B，A∪∅＝AA∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A空集(∅)的特殊性：在解题中，若未指明集合非空，要考虑空集的可能性．例如，若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能，此时应分类讨论．2．集合间运算性质的重要结论(1)A∪B＝A⇔B⊆A.(2)A∩B＝A⇔A⊆B.(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.(4)狄摩根定律：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(1)(2014·课标Ⅱ，1)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2} C．{0} D．{－2}(2)(2014·辽宁，1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}集合基本运算的方法技巧(1)进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分．(2)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(3)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(4)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．(1)(2014·广东，1)已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}(2)(2014·陕西，1)已知集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)考向四四种命题及其相互关系1．四种命题的结构命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p2.四种命题间的关系3．四种命题间的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．(2)两个命题互为逆命题或者互为否命题，它们的真假性没有关系．(1)(2012·湖南，2)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4(2)(2014·陕西，8)原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假四种命题的关系及真假判断(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．(2015·湖北黄冈调研，4)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3 B．2 C．1 D．0考向五充分、必要条件的判断1．充分、必要条件与充要条件的含义(1)“若p，则q”为真命题，即p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件，q也是p的充要条件，也说“p与q等价”；(3)若p⇒q，而q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；(4)若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合角度理解充分、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于p，q的充分条件、必要条件又可叙述为：A B p是q的充分条件A B p是q的必要条件A＝B p是q的充要条件(1)(2014·浙江，2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2014·课标Ⅱ，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件充分、必要条件的判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判断．(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．(1)(2013·湖南，2)“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·山东，8)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)考向六 含逻辑联结词的命题的真假判断1．綈p ，p ∨q ，p ∧q 的真假判断p q 綈p p ∨q p ∧q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假假真假假2.否命题与命题的否定否命题命题的否定区别 否命题是既否定其条件，又否定其结论命题的否定只是否定命题的结论否命题与原命题的真假无必然联系命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假(1)(2013·湖北，3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q(2)(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断命题p，q的真假；(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∧(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．(1)(2012·山东，5)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝π2对称，则下列判断正确的是()A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真(2)(2015·山东潍坊调研，14)已知p：“对任意的x∈[2，4]，有log2x－a≥0”，q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若p，q均为命题，而且“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．考向七含有一个量词的命题的否定1．全称命题与特称命题的结构命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①对所有的x∈A，p(x)成立；②对一切x∈A，p(x)成立；③对每一个x∈A，p(x)成立；④任选一个x∈A，p(x)成立；⑤任意x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立；②至少有一个x∈A，使p(x)成立；③对有些x∈A，p(x)成立；④对某个x∈A，p(x)成立；⑤有一个x∈A，使p(x)成立2.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)(1)全称命题(特称命题)的否定与命题的否定是不同的．全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定是只否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．(2)含有逻辑联结词的命题的否定是一个难点，其原理是：綈(p∨q)＝(綈p)∧(綈q)，綈(p∧q)＝(綈p)∨(綈q)．3．常用的否定词正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)一定是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不一定是正面词语都是任意的所有的任意两个否定词语不都是某个某些某两个正面词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个(1)(2014·湖北，3)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x(2)(2015·山东德州一模，3)命题“∃x∈R，x2－2x>0”的否定是()A．∀x∈R，x2－2x<0 B．∃x∈R，x2－2x≥0C．∀x∈R，x2－2x≤0 D．∃x∈R，x2－2x<0对含有量词的命题进行否定的方法(1)全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”；特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．(2014·天津，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)·e x>1，则綈p为() A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1考向八全称命题、特称命题的真假判断(1)(2015·广东梅州一模，4)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2(2)(2013·课标Ⅰ，5)已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈q全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真无论是全称命题还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，都可先判断其否定的真假．(2014·北京朝阳期末检测，6)命题p：∀x∈R，x2＋ax＋a2≥0；命题q：∃x∈R，sin x ＋cos x＝2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．p∨qC．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)课后作业。