X o ()
XiK
1 T 2 2
系统输出的相位 () arctanT
频率响应只是时间响应的一个特例。不过，当 谐波频率不同时，其输出的幅值这 个意义上说，研究频率响应或者研究下面的频率特 性就是在频域中研究系统的特性。
一、频率响应与频率特性
X0 [Xne jn0t X ne jn0t ]
X e jn0t n
n1
n
X
n
1 T
T 0
x(t) cos
n0t
j
sin
n0t
dt
3.非周期信号与连续频谱——傅里叶变换
• 非周期函数只要满足狄利赫利条件也能分解成多个正弦波的叠加。如 果周期信号x(t)的周期T→∞，则其等同于非周期信号。
1. 系统的动态特性用时域响应来描述最为直观与 逼真。
2. 解析法求解时域响应十分不易，对于高阶系统 就更加困难。
引言
频域分析：通过系统在不同频率的谐波(正弦)输入 作用下的稳态响应来研究系统的性能.是一种图 解分析方法.
1. 虽然是稳态响应，却可以用来研究稳定性和瞬 态性能
2. 图解分析法，近似作图，简单、方便，易于在 工程技术界应用
xt a0 (an cos n0t bn sin n0t) n1
x t
X e jn0t n
n
X
n
1 T
T
2 T
x
2
t e jn0tdt(n 0,1,2K )
2.复指数函数形式的傅里叶级数
• 复指数函数形式的傅里叶级数
欧拉公式为: e j0t cos0t j sin0t
则cos
x(t) a0 an cos n0t bn sin n0t
n1
a0
1 T
T
x(t)dt
0
•
傅里叶系数
an
2 T
T
0 x(t)cos n0tdt
bn
2 T
T
0 x(t)sin n0tdt
周期信号角频率，又称为 基频。
1.周期信号与离散频谱——傅里叶级数
• 还可写成
x(t) A0 An cos(n0t n) n1
2
3.非周期信号与连续频谱——傅里叶变换
X () x(t)e jtdt
x(t)= 1
x()
e
jt d
2
傅里叶变换对
x(t)FT X () IFT
X ( f ) x(t)e j2 ftdt
x(t) x()e j2 ftdf
引言
时域分析：重点研究过渡过程,通过在阶跃或脉冲输 入下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能
内容提要
4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的图示法 4.3 频率特性的特征量 4.4 最小相位系统和非最小相位系统
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。
1.周期信号与离散频谱——傅里叶级数
• 在数学上，对任一在有限区间的周期函数x(t),凡
满足狄里赫利条件者都可展开成傅里叶级数，记
作：
输入的稳态响应，称为 频率响应。 若输入一谐波信号：
xi (t) X i sin t
则稳态响应为：
xo (t) X o () sin[t ()]
一、频率响应与频率特性
例1 有传递函数为 G(s) K
Ts 1
设输入信号为 xi (t) X i sin t
Xi
(s)
X i s2 2
则输出为 X o (s)
式中：A0 a0; An
a2n
b2n
;
tan
n
bn an
1.周期信号与离散频谱——傅里叶级数
• 以角频率ω为横坐标，An和φn分别为纵坐标作图。得到频 谱图
An
n
A0
A1 A2
A3
... A4
0 20 30 40
1 2
3
4
...
0 20 30 40
1.周期信号与离散频谱——傅里叶级数 • 周期信号的时域、频域描述方法及其相互关系
拉氏逆变换并整理得：
G(s)
X
i
(s)
K Ts 1
•
X i s2
2
xo (t)
X i KT 1 T 2 2
• et / T
X i K sin(t arctanT) 1 T 2 2
系统的稳态响应xo (t)
Xi K sin(t arctanT) 1 T 22
一、频率响应与频率特性
系统输出的幅值
2. 频率特性
相位逆时针为正，顺时针为负。相位超前为正，相位滞后为负。
二、频率特性与传递函数的关系
设系统的微分方程为：
an
xo(n)
(t
)
an1
x (n1) o
(t
)
a1xo (t) a0 xo (t)
• X(t)的指数傅立叶级数为
式中：x t
X e jn0t n
n
• Xn是复数振幅，将其代入x(t),得到
X
n
1 T
T
2 T
x
2
t e jn0tdt(n 0,1,2K )
x(t)
1 T n
T/ T
2 /2
x(t
)e
jn0t
dt
e
jn0t
3.非周期信号与连续频谱——傅里叶变换
x(t)
n0t
1 2
(e
jn0t
e
jn0t
)
j
sin
n0t
1 2
(e
jn0t
e
jn0t
)]
xt a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n1
a0
[an
n1
1 2
(e
jn0t
e
jn0t
)
bn
1 2j
(e
jn0t
e
jn0t
)]
a0
1 [
n1 2
(an
jbn )e jn0t
1 2
(an
jbn )e jn0t ]
3. 有明确的物理意义，许多元件和稳定系统的频 率特性都可用实验方法测定。
4. 机械工程科学中的很多问题都与频率特性有关。
4.1 频率特性概述
一、频率响应与频率特性 二、频率特性与传递函数的关系 三、频率特性的求法 四、频率特性的表示方法 五、频率特性的特点和作用
一、频率响应与频率特性
1. 频率响应： 线性定常系统对谐波
1.周期信号与离散频谱——傅里叶级数
• 周期信号频谱的特点如下： 1）离散性：频谱谱线是离散的。 2）收敛性：谐波幅值总的趋势随谐波次数的增 加而降低，即 An(n ) 0
3）谐波性：谱线只出现在基频整数倍的频率处。
2.复指数函数形式的傅里叶级数
欧拉公式
三角函数形式的 傅里叶级数
指数形式的 傅里叶级数
1 T n
T/ T
2 /2
x(t
)e
jn0t
dt
e
jn0t
• 当T→∞时， Δω→dω而使原离散谱线紧靠在一起，离散 变量nω0演变为连续变量ω， Δω=2π/T，则和式可用积 分表示：
x(t) 1 [ x(t)e jt dt]e jt d
2
X () x(t) e jtdt
x(t)= 1 x()e jtd