指数式
G( j) G( j) e jG( j) A()e j()
A G j U 2 V 2
arctanUV
U Acos V Asin
4.2 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性（Nyquist 图）
当频率 从0到无穷大变化 时，向量G(j )的端点在复
平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过
2
1 T
jv
振荡环节的 Nyquist曲线不
→∞
0
1
=0
n =1
仅与频率 有关，而且与
阻尼比ξ也有关。 ξ 越小， u 幅频越大。
n =0.5
n =0.3
当ξ 小到一定程度时，幅 频将会出现峰值：
M r A(r )
r为谐振频率
Mr为谐振峰值
r n 1 2 2 0.707
M r A max
6. 二阶振荡环节
频率特性
G j
1
j 2T 2 j2T 1
幅频特性 A G j
1
1 2T 2 2 2T 2
相频A特性GGjjG1ajrct2aTn21122arc22TTtaa2nrcT1ta22n1T122TT22TT2
1 T
1 T
arctan
1
2T 2T
jv
频率特性 G j K
幅频特性 A G j K 0
K u
相频特性 G j 0o
2. 积分环节
频率特性
G j
1
1
j( )
e2
j
幅频特性 A G j 1
相频特性 G j 90
jv
0
u →∞
=0
积分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴下半轴相重合的直线，由无穷远点指向 原点。
4 能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，并进一 步提出改善系统性能的方法。
4.1 频率特性
4.1频率特性的基本概念
xi(t)
R
xi(t) t
xo(t) C
RC网络的传递函数为
G(s) X0 s 1 (T RC) Xi s Ts 1
输入信号 xi t Asin t
输出信号
x0
t
1
AT 2T
1
1 2T 2
arctan T
将s以j 代入RC网络传递函数，即得RC网络频率特性
G( j) 1 1 RCj 1 1 jT
A( 1
e j(arctanT )
1 2T 2
)e j ()
RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立
虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号，然而频 率特性是系统的固有特性，与输入信号无关， 即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
2
1
1 2
2 2
7. 二阶微分环节
jv
=0
01
u
8. 延迟环节
频率特性 G j e jT
2
teTຫໍສະໝຸດ A sint arctanT
1 2T 2
系统稳态输出
lim
t
x0
t
A sin t arctan T
1 2T 2
定义：
A() A / 1 2T 2
A
1
1 2T 2
稳态输出幅值 输入幅值
RC网络幅 频特性
() arctanT 稳态输出相位 输入相位 RC网络相频特性
第4章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图 4.4 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性 能比较直观、准确
缺点是： 1. 当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定， 因而无法分析系统性能。
2. 当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确 定应该如何调整系统来获得预期效果。
3. 微分环节
频率特性
G j
j
j e 2
幅频特性 A G j
相频特性 G j 90
jv
∞
↑
=0
0
u
微分环节的幅相频率特性曲线为一条与虚 轴上半轴相重合的直线，由原点指向无穷 远点。
4.一阶惯性环节
频率特性 G j 1
1 jT
幅频特性 A 1
2T 2 1
jv
0 →∞ -45°
频域分析法：是以输入信号的频率为变量，对系统的性
能在频率域内进行研究的一种方法。
特点：
1. 不必求解系统微分方程，而采用作图法分析，有很强 的直观性，计算工作量小；
2. 由系统开环特性即可定性分析闭环响应的特点， 定量估算响应性能指标。
3. 对难以用数学模型描述的系统和元件，可用实验方法 求出系统的频率响应，从而对系统和元件进行准确而有 效的分析。
的角度为正，顺时针转过的角度为负。
2. 对数频率特性（Bode图） 由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频 特性。
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv
0 →∞ -45°
0.707
=0 u
=1/T
4.2 频率响应的Nyquist 图
一. 典型环节的Nyquist图
1. 放大环节
传递函数 G(s) K
频率特性的求取
1. 已知系统微分方程，把输入信号以正弦函数代入，求 其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比，即得 频率特性。
c r
Be j(t ) Ae jt
B e j A
A()e j ()
2. 根据系统传递函数来求取。将s=j 代入传递函数中，
可直接得到系统的频率特性。
G( j) G(s) s j
3.通过实验测得
现在已有一些测试系统频率特性的专用仪器，如增益— 相位计，对于各个频率的输入，在增益—相位计上可直 接读出输出、输入的振幅比以及相位差
频率特性的矢量图
jv
频率特性是一个复数，有三种表示：
V ()
A() ()
G(j) 代数式 G j U jV
极坐标式
0
U() u G( j) G( j) G( j) A()()
当输入为非正弦周期信号时，其输入可用傅立叶级数展 成正弦波的叠加，其稳态输出为相应的正弦波叠加。
当输入为非周期信号，可将该非周期信号看作周期T趋于 无穷大的周期信号。
频率特性的定义：
1. 正弦输入时，频率特性就是系统稳态输出量 与输入量之复数比；
2. 非正弦、非周期输入时，频率特性是系统输 出量的付氏变换与输入量的付氏变换之比。
0.707
1 =0 u
相频特性 arctanT
=1/T
一阶惯性环节的幅相频率特性曲 线是一个半圆。
5. 一阶微分环节
频率特性 G j Tj 1
幅频特性 A 1 T 2 相频特性 arctan T
∞
jv
↑
2
45° =0
0
1
u
实频特性 U () 1
一阶微分环节的幅相频率特性曲线是一条由(1,j0)点出发， 平行于虚轴的一条直线。