最大切应力为
max
1
1 3 87.7 (40) 63.85MPa 2 2
由广义虎克定律求得主应变
1 1 3 [1 ( 2 3 )] [ 87 . 7 0 . 3 ( 2 . 3 40 )] 0 . 495 10 E 200103 1 1 3 2 [ 2 (3 1 )] [ 2 . 3 0 . 3 ( 40 87 . 7 )] 0 . 06 10 E 200103 1 1 3 3 [3 (1 2 )] [ 40 0 . 3 ( 87 . 7 2 . 3 )] 0 . 335 10 E 200103
典型题精解（4－1）
4-1 图4-1(a)所示一单元处于平面应力状态。试求：1）主应力及主 平面；2）最大切应力及其作用平面。 解（一）解析法 ; y 30MPa; x 20MPa. 由单元体可知 x 20MPa
30MPa
1
20MPa 20MPa

K E
D1
a
1）极值正应力
所以，主应力 1 主平面
37MPa; 3 27MPa(2 0).
所以，
2 x 2 ( 20) tg 20 0.8 x y 20 30 0 19.33o ，主应力单元体如图4－1（a）所示
典型题精解（4－1）
2）最大切应力
2
0 28.2o

x y 2 x y 2

x y 2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
27.6 52.3 27.6 52.3 20 cos[2 (90o )] 18.6 sin[2 (90o )] 2 2 27.6 52.3 10 sin[2 (90o )] 18.6 cos[2(90o )] 2
2
) (
2 2
x y
2
典型题精解（4－2）
代入已知数据得
2 解方程得x平面上的正应力 x 27.6MPa
主应力
1 2
(20
x 52.3
2
) 10 (
2 2
x 5Байду номын сангаас.3
2
) 2 18.62

x y 2
x y 2 x 2
2
27.6 52.3 27.6 52.3 2 62.3 18.6 17.6 MP a 2 2
主平面方位
2x 2 18.6 tg2 0 1.506 x y 27.6 52.3
典型题精解（4－2）
所以， 2）由平面应力状态任意截面的应力公式
3
图4－1
B1
D
O
A1

b
典型题精解（4－1）
max min

x y 2
x y 2 x 2
2
2
20 30 20 30 2 37 ( 20 ) 27 MP a 2 2
解得
代入平面2及x平面和y平面上的应力，得
48.5o
典型题精解（4－3）
4-3 一单元体应力状态如图4－3所示。已知材料的E=20Mpa,u=0.3 试求：1）单元体的主应力及最大切应力；2)单元体的主应变和体积应变； z 3）单元体的弹性比能、体积改变比能和形状改变比能。 解：1）由单元体图可以看出z截面的切应力为零， 60MPa 因而z截面的正应力 z 40MPa ，即是一个 40MPa 主应力。 两个主应力分别为 30MPa
所以 1 25.67o (115 .67o ) ，由 1 的作用平面也可判定最大切应力 o 作用平面是 115 。 . 67 0 （二）图解法 按照作应力圆的方法在 , 坐标系内，按选定的比例尺，由 x 20MPa; x 20MPa. 得到D点，D点对应于x截面。由
x 18.6MPa.
1
10MPa 20MPa

x
平面2上的应力在x平面和y平面所确定 的应力圆上，平面2的法线和x方向的夹 角 90o ，则
20MPa, 10MPa
52.3MPa
y
2 )2 x
18.6MPa
图4－2
由应力圆的方程知
(
x y
东南大学远程教育
材 料 力 学
第八讲 主讲教师：马军
典型题精解（4－2）
y 30MPa; y 20MPa.
D1点对应于y截面。再由D 点和D1 两点绘出相应的应力圆， 得到D1 点， 如图4－1（b）所示。 应力圆和 轴相交于A1 , B1 两点，即为两个主应力值，由图中量得
1 52.3MPa, 3 27MPa 应力圆的最高点E 相应于最大切应力，由图中量得 max 32MPa, 1 115.67o


x y
2
x y 2 x 2
2
2
40MPa
图4－3
x
30 60 30 60 2 y ( 40 ) 2 2
.7 87 2.3 MPa
典型题精解（4－3）
所以三个主应力为
1 87.7MPa; 2 2.3MPa; 3 40MPa.
x y 20 30 2 2 max ( 20 ) 32MPa x 2 2
2
最大切应力作用平面
x y 20 30 tg 21 1.25 2 x 2 ( 20)
典型题精解（4－2）
4-2 已知如图4－2所示过一点两个平面上的应力。试求：1）该点 的主应力及主平面；2）两平面的夹角。 解：1）设平面1的法线方向为y方向，平面1就是y平面，其上的应力 为
y 52.3MPa; y 18.6MPa.
2
与y平面正交的x平面上的切应力为 X平面上的正应力 x未知。