由图可知，垂足在线段 上，
因为点 到直线的 的距离 ，
所以 .
故选:D.
6．A 由 得 ，∵ ，
∴直线的斜率 ,作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得 ,由图像可知当直线 经过点A时,直线 的截距最小，此时z最小.
由 ,解得 ,即 ，
此时目标函数 的最小值为 ，
即 ，点 在直线 上，
则原点到直线的距离 ,
则点 到点 的距离的最小值为：1，最大值为
所以 的最小值为： ，最大值为：
故 的取值范围为 故答案为：
16． 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，点 是区域内的动点，
当 与直线 垂直时，
由点到直线的距离公式得，距离最小值为 ．
显然D(−1,0)到直线x+y=0的距离最小，
最小值为： = ，
所求表达式的最小值为： −Байду номын сангаас= ，故选：B.
14． 作出不等式组对应的平面区域如图：
的几何意义为区域内的点到定点 的距离，
由图象知， 到直线 ： 的距离最小，
此时 ，
的最小值是 ，故答案为： .
15． ；
表示点 到点 的距离
， ，则三角形 为等腰三角形
AB：
定点 到直线AB的距离：
∴ 故选：
12．C
作出不等式组表示的平面区域如图所示，由题意知，Q,R关于原点对称，
所以 ，由图形知 的最小值为点O到直线 的距离
所以 的最小值为7，故选C.
13．Bx，y满足|x|⩽y⩽1，表示的可行域如图：
=(x+1)2+y2−1它的几何意义是可行域内的点到(−1,0)的距离的平方减去1.
令 的圆心坐标为 ，半径为 ，
联立 ，解得： ．
由图可知， 的平方就是最大值4，最小值为0，
的最大值与最小值之和为：4．故选： ．
3．D 变量 ， 满足约束条件
画出可行域，
可看作是可行域内的点到 距离的平方的最小值
根据图象可知， 的最小值是 到 距离的平方.
根据点到直线距离公式可得： 到 距离为
故选：D..
z2 ，它的几何意义是可行域内的点与（1，﹣1）连线的斜率，
可得：DA的斜率是最大值为： ；
BD的斜率取得最小值为： ；z2∈[ ， ]；所以 错误；
z3＝x2+y2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方，
最小值为原点到直线y=x+2的距离的平方：（ ）2 ，最大值为OC的平方：（﹣1﹣0）2+（3﹣0）2＝10，z3∈[ ，10]．所以 正确；
4．C
在同一直角坐标系中画出集合 所在区域，
取交集后可得 所表示的区域如图中阴影部分所示，
而 表示的是 中的点到 的距离，
由图可知， 到直线 的距离最小，为 ；
到 的距离最大，为 ，
所以 范围是 ，故选C.
5．D作出可行域如图中阴影部分所示，
设 ,
表示可行域内点 与点 距离的平方减去1，
由题知 ，过 作直线 的垂线，
所以函数 的最小值为
故选D．
10．A根据所给不等式组，画出可行域如下图所示
因为 在圆 上，所以即求可行域内到点 距离加半径即可
由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，
所以 ，所以PQ最大值为5+1=6所以选A
11．D令 ， ，作出可行域，如图所示：
，
表示可行域上的动点到定点 距离的平方，然后减去 ，故其最小值为定点 到直线AB的距离的平方减去 。
参考答案
1．D解： ,而 表示正方形及其外部（如图），所以 的最小值为点（1，0）到AB：y=-x+2的距离平方减去1，即 ,选D.
点评：
线性规划问题，首先明确可行域，其次确定目标函数的几何意义，截距、两点间距离、直线的斜率、点到直线的距离，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
2．C解：由 ， 满足 作出可行域如图，
12．已知点 满足 ，直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为（）
A． B．4C．7D．
13．若实数 满足： ，则 的最小值为
A． B． C． D．
14．已知 ， 满足的束条件 ，求 的最小值是______.
15．已知 满足 ，则 的取值范围是__________.
16．（江西省重点中学协作体2018届高三下学期第一次联考）已知 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标满足 ，则 的最小值为__________.
5．已知变量 满足约束条件 ，若 恒成立，则实数 的最大值为（）
A．40B．9C．8D．
6．已知x，y满足约束条件 当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2 时，a2＋b2的最小值为（）
A．4B．3C． D．2
7．记不等式组 ，表示的平面区域为 .下面给出的四个命题： ； ； ； 其中真命题的是：
高考数学巧解：非线性目标函数---平方和型
1．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
2．已知 满足 ，则 的最大值与最小值的和是（）
A．6B．5C．4D．3
3．设变量 ， 满足约束条件 则 的最小值为（）
A．2B． C．4D．
4．设集合 ，若动点 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
故选：C．
8．B画出不等式表示的可行域（如图阴影所示），u＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2的几何意义是三角形区域上的点与点(2，2)的距离的平方．结合图象可得u的最小值等于点(2，2)到直线x＋y－1＝0的距离的平方，即为 ，
故选B.
9．D
由已知得到可行域如图阴影所示：
目标函数 的几何意义是区域内的点到 距离的平方，又 ，
即 的最小值 ，故答案为:4.
7．C实数x，y满足 ，由约束条件作出可行域为D，如图阴影部分，
A（﹣2，0），B（0，2），C（﹣1，3），z=x+y经过可行域的点A及直线BC时分别取得最值，可得：z∈[﹣2，2]，所以 错误；
z1＝2x﹣y经过可行域的B、C时分别取得最值，可得：z1∈[﹣5，﹣2]，所以 正确；
A． B． C． D．
8．已知 且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最小值为()
A． B． C． D．
9．已知 ， 满足约束条件 ，则函数 的最小值为（）
A． B． C． D．
10．若点 满足 ，点 在圆 上，则 的最大值为
A． B． C． D．
11．若 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．