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2. 欲求最大值或最小值的函数 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数 叫做目标函数. 目标函数
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2. 欲求最大值或最小值的函数 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y 叫做目标函数 叫做目标函数. 目标函数 又是x、 的一次解析式 的一次解析式， 由于 z=2x+y又是 、y的一次解析式， 又是 所以又叫线性目标函数 所以又叫线性目标函数. 线性目标函数
探究问题（三）
设工厂获得的利润为z， 设工厂获得的利润为 ，则z = 2x + 3y， ， ——求z的最大值。 求 的最大值 的最大值。
思考：1、如果将目标函数看成关于变量x,y的方程，它的 思考： 的方程， 几何意义是什么？ 几何意义是什么？ 2、z的几何意义又是什么？ 的几何意义又是什么？ 3、z的值因谁的变化而变化？你又能得到什么启 的值因谁的变化而变化？ 示
2.【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由 【解析】 作出可行域如图阴影部分所示， 图可知z＝ － 经过点 经过点A时 有最小值 经过点B 有最小值， 图可知 ＝3x－4y经过点 时z有最小值，经过点 有最大值． 时z有最大值．易求 有最大值 易求A(3,5)，B(5,3)，∴z最大＝3×5 ， ， × ＝－11. －4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－ × ＝ ， × － × ＝－
O
x
将上述不等式组表示成平面上的区域， （3） 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴 影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产 影部分中的整点（坐标为整数） 安排。 安排。
y
4 3
M
o
4
8
x
• 探究问题（二）： 探究问题（ 进一步，若生产一件甲产品获利2 进一步，若生产一件甲产品获利2 万元，生产一件乙产品获利3万元， 万元，生产一件乙产品获利3万元， 采用哪种生产安排利润最大？ 采用哪种生产安排利润最大？ 若设工厂获得的利润为z，则z = 的最大值。 2x + 3y，即求z的最大值。
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 可行域.
方法总结： 方法总结：
解答线性规划问题的步骤： 解答线性规划问题的步骤： 第一步：建立数学关系式； 第一步：建立数学关系式； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第二步：根据约束条件画出可行域； 第三步：令目标函数z=0，作出对应的直线 第三步：令目标函数 ， 第四步：在可行域内平行移动直线； 第四步：在可行域内平行移动直线；利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截 距最大或最小的直线从而找到最优解； 距最大或最小的直线从而找到最优解； 从而找到最优解 第五步：求出目标函数的最大值或最小值 第五步：求出目标函数的最大值或最小值.
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解. 5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 可行域. 6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行 最优解. 解，它们都叫做这个问题的最优解 它们都叫做这个问题的最优解
x + 2y ≤ 8 4x ≤16 4y ≤12 x ≥0 y ≥ 0 上一页
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 画出不等式组所表示的平面区域：
x + 2y ≤ 8 4x ≤16 4y ≤12 x ≥0 y ≥0
y
x =4
y=3 x+2y-8=0
O
x
x=4
M点是两条直线的交点，解方程组 点是两条直线的交点， 点是两条直线的交点
x = 4 x + 2y −8 = 0
得x=4 y=2, 此时2x+3y=14 此时2x+3y=14
所以每天生产甲产品4 所以每天生产甲产品4件，乙产品2件时， 乙产品2件时， 工厂可获得最大利润14万元 工厂可获得最大利润14万元 14
课堂练习：
1. ＋ ≤ ， x＋y≤3， － ≥ ， (2010 年高卷天津卷 设变量 x，y 满足约束条件x－y≥－1， 年高卷天津卷)设变量 ， y≥1， ≥， ) B．10 ． D．2 ． － ＋ ≥ ， x－y＋2≥0， － ＋ ≤ ， (2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约束条件x－5y＋10≤0， 年高考山东卷)设变量 、 x＋y－8≤0， ＋－≤， 则目标函数 则目标函数 z＝4x＋2y 的 ＝ ＋ 最大值为( 最大值为 A．12 ． C．8 ． 2．变式训练 ．
【答案】 答案】
A
注意：z与对应直线在 y轴上截距的关系
如图)． 【解析】 由约束条件画出可行域 如图 ． 解析】 由约束条件画出可行域(如图 的坐标为(3,1)，z最大时，即平移 ＝－ 使直 最大时， ＝－ax使直 点C的坐标为 的坐标为 ， 最大时 即平移y＝－ 线在y轴上的截距最大 轴上的截距最大． 线在 轴上的截距最大．∴－a＜kCD， ＜ ＜－1， 即－a＜－ ，∴a＞1. ＜－ ＞
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题
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3. 一般地，求线性目标函数在线性约束 一般地， 条件下的最大值或最小值的问题， 条件下的最大值或最小值的问题，统称 线性规划问题. 为线性规划问题 4. 满足线性约束条件的解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解 叫做可行解 叫做可行解.
z＝3x－4y 的最大值和最小值分别为 ＝ － 的最大值和最小值分别为 值和最小值分别为( ) A．3，－ ，－11 B．－ ，－ ．－3，－ ． ，－ ．－ ，－11 C．11，－ ． ，－ ，－3 D．11,3 ． ）
y≤x 全国） 的最小值为（ 3（全国）设变量 x 、 y 满足约束条件 x + y ≥ 2 ，则目标函数 z = 2 x + y 的最小值为（ y ≥ 3x − 6
x −5y = 3
5 x + 3 y = 15
3x+5y=0
例2 ：
5 x + 3 y ≤ 15, 若求z=x-2y的最大值和最小值呢？ y ≤ x + 1, 的最大值和最小值呢？ 变式1.若求 的最大值和最小值呢 变式 若求 y 5 1 z x − 5 y ≤ 3. ∵z = x −2y ⇒ y = x − 2 2
最小时， ∴ -z/2最小时，z最大 最小时 最大
y = x +1
-z/2最大时，z最小 最大时， 最小 最大时 故过点C时 最大 最大， 故过点 时，z最大， 过点B时 最小 最小. 过点 时，z最小 zmax=3 zmin=-3.5
B (1.5,2.5) 1 C o 3
5 x + 3 y = 15
A． 2 ．
B． 3 ．
C． 4 ．
D． 9 ．
4．(2011 广东卷 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－ ≤x－y≤2.若目标函数 z ． 广东卷)已知变量 ， ，－2≤ － ≤ 若目标函数 ≤ ＋ ≤ ，－ 仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为 处取得最大值， 的取值范围为________． ＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点 ＋ 其中 ＞ 仅在点 处取得最大值 ．
不等式组所表示的平面区域： 不等式组所表示的平面区域：
2 z 2 z ∵y = − x + , 表 k = − ,b = 的 线 示 直 3 3 3 3
y
所以当Z变化
时，可以得到一 组互相平行的直 线，而且当截距 z/3最大时 最大时， z/3最大时，z取 最大值。-8=0
例1 ： 的最大值和最小值,使 、 满足约束条件 求z=3x+5y的最大值和最小值 使x、y满足约束条件 的最大值和最小值
5 x + 3 y ≤ 15, y ≤ x + 1, x − 5 y ≤ 3.
Z max=17 Z min=-11
A(-2,-1)
y 5
y = x +1
B (1.5,2.5) 1 C o 3 x
【答案】 答案】
a＞1 ＞
知识小结：
• 1、熟悉本节有关概念。 • 2、简单线性规划问题的求解步骤。 • 3、需要注意的问题。
x − 5y = 3
x
的最值与对应直线在y轴上的截距有关 注：1、目标函数 的最值与对应直线在 轴上的截距有关。 、目标函数z的最值与对应直线在 轴上的截距有关。 A 2、目标函数的最优解有时是唯一的，有时是不唯一的 、目标函数的最优解有时是唯一的， (-2,-1) 3x+5y=0 甚至是无穷多个。 甚至是无穷多个。 变式2.使 取得最小值的最优解有几个? 变式 使z=x-y取得最小值的最优解有几个 取得最小值的最优解有几个
转
探究问题（一）
• （1）如何用不等式组表示问题中的限制条件？ • （2）请画出不等式组所表示的平面区域。 • （3）对照平面区域，你能说出该厂可能的日生产安排 的几何意义是什么吗？
解决问题
（1）用不等式组表示问题中的限制条件： 用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产 品分别生产x 品分别生产x、y 件，由已知条件 可得二元一次不 等式组：
线性约束条件.
线性规划问题