Lad
2 1
1

dp

k
k 1 RT1

p2 p1

k
1
多变压缩过程：过程中存在损失和热交换，产生了多变指
数 p / n 常数
n=k时，绝热过程 n=1时，等温过程
多变压缩功

n1
Lpol
2 1
1

dp

n
n
1
RT1

Lf
0
机械能形式的能量方程
2 dp w22 w12
1
2
Lf
0
➢ 压气机： >0 <0 >0
气体的相对动能减少，用于克服流阻和压缩功
➢ 涡轮： <0 >0 >0
膨胀功用于克服流阻和增加气体的相对动能
➢ 机械能形式的能量方程没有显式地反映气体与 外界热量交换的情况，但对与外界有或无热量 交换的流动过程都是适用的。气体与外界的热 量交换对压缩功或膨胀功项有影响，进而会影 响到气体绝对和相对动能变化量的大小
T
v
2k RT *
k 1
其中K为综合常数，
k=1.4 ,R=287.06J/(kg·K)时， K=0.0404sK0.5/m;
k=1.33,R=287.4 J/(kg·K)时，K=0.0397
0.5
连续方程
如果在叶轮机中沿轴向任一截面Ai上气流参数 是均匀的，即一维流动（气体参数仅沿流动方向发
叶轮机械原理
第二章 气动热力学基本方程 在叶轮机械中的应用
➢ 在气体动力学和工程热力学中已介绍过描述气 体运动的基本方程（三大守恒）
➢ 连续方程
➢ 热焓形式的能量方程 ➢ 热力学第一定律方程
机械能形式的能量方程 （广义伯努利方程）
➢ 动量方程（欧拉方程）
➢ 动量矩方程（叶轮机欧拉方程）
➢ 本章重点介绍上述方程在叶轮机械中的应用
单位质量流体动量矩 （环量）
u=r
Lu v2uu2 v1uu1
u1 u2
Lu u(v2u v1u )
vu
Lu uvu
扭速
第二章作业
➢ 以两种不同形式的能量方程(热焓形式和机械能 形式)解释涡轮中的能量转换
➢ 判断压气机转子所受轴向力是向前还是向后， 并解释之
qe

u22
u12 2
i2
i1

w22
w12 2
i2w
i1w
cp (T2w
T1w )
➢ 如果qe＝0，并且r1＝r2，则有u1＝u2 ，那么，气流流 过转子时相对总焓不变，即有
i1w
i2w
cpT1
w12 2
cpT2

w22 2
热力学第一定律方程
叶轮机欧拉方程
➢ 动量矩定理：
➢ 对某流体控制体，相对某固定轴线的动量矩单位时 间变化率等于所有外力对该轴的合力矩
d(mvr rr ) M dt
➢ 对于一维定常流动
M m&(v2ur2 v1ur1)
m&：单位时间内通过微元流股控
制体进口和出口截面的气体质量； 和 ：控制体进口和出口截
连续方程
在dt时间内流过面积dA的气 体质量dm为：
dm vsindAdt
在单位时间内流过dA的气流质 量，即质量流量（mass flow rate） 为：
d
•
m

dm

v sin dA
dt
连续方程
在叶轮机械中习惯于用气体总参数和流量函数 q(λ)表示连续方程:
•
dmK
p
q sindA
面v1u气流v绝2u 对速度的切向分量；
叶轮机欧拉方程
➢ 气体作用在叶轮机上的力矩 M与叶轮机作用在气体上 的力矩 M 大小相等，方向相反，M M
➢ 在力矩 M 作用下，气体对叶轮机的作功量：
lu M dt m&(v2ur2 v1ur1)dt dm(v2ur2 v1ur1)
qe(J/kg或m2/s2): 单位质量气体与叶轮机热量的交换。 qe>0：叶轮机对气体加入热量； qe<0：气体对叶轮机输出热量。
热焓形式的能量方程
绝对坐标系下的热焓形式能量方程
Lu
qe
i2
i1

v22
v12 2
i2
i1
➢ 无论对无粘流动还是有粘流动上述方程都是适用的。方 程中没有明显包含能量损失，但这部分损失通过热量传 递给气体或外界。
➢ 绝对坐标系下的机械能形式的能量方程（伯努 利方程）
Lu

v22
v12 2

2 dp
1 Lf
➢ 相对坐标系下的机械能形式的能量方程
u
2 2

u12
2

2 dp w22 w12
1
2
Lf
➢ 当u1＝u2时，离心力作功量为零，则有
2 dp w22 w12
1
2
动量守恒方程
➢ 茹可夫斯基定理在叶栅问题上的推广
➢ 根据动量守恒定律，作用在控制体所有表面的外力
的合力等于控制体内气体的动量变化率
r P

r p1t

r p2t

m&wr 2

m&wr1
•
轴向：
Pa m(w•1a w2a ) ( p1 p2 )t
周向（切向）： Pu m(w1u w2u )
机械能形式的能量方程
➢ 压缩功
➢ 不可压流：进出口密度近似不变，压缩功
2 1
1
dp

1
(
p2

p1 )
只与进出口静压升有关，与过程无关
➢ 可压流：密度随压缩过程而改变，压缩功与过程相关
等温压缩过程： T 常数
p / 常数
2
d(
p)
p2

p1
0
1 2 1
2 1
➢ 用于叶轮机静子，轮缘功Lu＝0 。
➢ 如程果是气绝体热与的叶，轮 那机么静子i2 之 间i1 热量交换qe也为零，即流动过
➢ 轮缘功并不是轴功。传给叶轮的轴功需要分配给轴承机 械损失、轮阻损失、内漏气损失等等，轮缘功仅为其中 的一部分。
热焓形式的能量方程
➢ 相对坐标系下的热焓形式能量方程
p2 p1

n
1
机械能形式的能量方程
➢ 气体压缩过程——焓熵图
热力学第二定律： dq Tds
热力学关系式： ds cp dT R dp
T
p
等压线为对数曲线： dp 0
s2

s1

cp
ln
T2 T1
➢ 等温过程 ➢ 绝热过程 ➢ 多变过程
➢ 流动过程中有无摩擦和热量交换，会影响n值的大小。n=k时，变 化过程为等熵绝热过程，即没有摩擦和与外界没有热量交换过程
➢ 热力学第一定律
dq

c p dT

1

dp

di

1

dp
➢ 在叶轮机中，气体微团从截面1运动到截面2， 气体从状态1变化到状态2，过程积分
q i2 i1
2 dp
1
或
qe Lf
i2 i1
2 dp
1
(q qe q f , q f Lf )
机械能形式的能量方程

2 dp w22 w12
1ห้องสมุดไป่ตู้
2
Lf
Lu

v22
v12 2

w12
w22 2

u22
u12 2
——叶轮机欧拉第二方程式
叶轮机欧拉方程
➢叶轮机欧拉方程的物理含义
Lu (v2ur2 v1ur1)
叶轮机欧拉方程是 动量矩守恒方程
对单位质量气体的作功量 角速度 ➢叶轮机欧拉方程的多种形式
➢ 轮缘功：叶轮机对单位质量气体的作功量 Lu Lu lu / dm
➢ 得，叶轮机欧拉方程 Lu (v2ur2 v1ur1) v2uu2 v1uu1
➢ 比较：由机械能形式能量方程得到的轮缘功
Lu
v22 v12 2

2 1
dp

Lf
u
2 2

u12
2
生变化），则任一截面Ai上的流量为
•
mi

K
Piq(i )sini Ai
Ti
热焓形式的能量方程
根据能量守恒定律，得热焓形式的能量方程：
Lu
qe
cp (T2
T1)
v22
v12 2
cp (T2
T1 )
Lu(J/kg或m2/s2): 轮缘功，是 Lu >0：叶轮机对单位质量气体加入的机械功（压气机转子）； Lu <0：单位质量气体对叶轮机输出的机械功（涡轮转子）。
pd( )
2 RTd( 1 ) RT ln 1 RT ln p2
1

1

2
p1
故，压缩功
Lis

21 dp RT ln
1
p2 p1
机械能形式的能量方程
绝热压缩过程：过程与外界无热交换且无损失，即 qe q f =0 p / k 常数
绝热压缩功

k 1