复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案）
1
、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039
x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++=
2(x x -
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ）
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥
(C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ）
）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ⨯ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．
由复数相等，有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩，，解得543.4
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z
12
i
7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
|
若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=⇒==⇒=±=±
若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠
，则2()60a bi +-=
222226026020a b a b abi ab ⎧⎪--=-+-=⇒⎨=⎪⎩
2222606056010a b b b b b a ⎧⎪--=⇒⇒--=⇒+-=⇒=±⎨=⎪⎩
所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。

8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。

34Z i =+ 6m =- ：
10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____． 分析：若设i(0)z a b b =+≠，代入求值，过程复杂，不易求解，但运用整体代入的思维策略则显得简洁明快．
解：∵328(2)(24)0z z z z =∴-++=，
． ∵z 是虚数，∴z ≠2．
∴2240z z ++=，即2222z z ++=-．
故3222826z z z +++=-=．
说明：该题也可通过设z=x+yi(x 、y ∈R)求解，但过程繁复.
可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．p =1或3
%
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ．2±
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围； (,1)(1,3)(3,)-∞+∞
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+=
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 2± ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 1742
or ． $
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，
则k 的值是 ．1
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
【解】
如果α∈R ，则0∆≥,∴(,8][0,)a ∈-∞-+∞，又∵∈R ，∴α=1或-1 当α=1时，代入得：a 2+2a+2=0不可能.
当α= -1时，代入得：a 2-4a+2=0∴2a =
如果α是虚数，则0∆<，∴(8,0)a ∈-，并且|α|=1，
* 则α也是此方程的根，于是：αα=2
2a a -
但是αα=|α|2=1，∴
2a a -=1，解得：a=2（舍去）或者a=-1 所以，所求的2a =，或者-1
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。

解法一：设m a bi(a,b R )=+∈，设方程的实根为t ，代入方程得： 222
3034034040
t at t (a bi )t i t at (bt )i bt ⎧++=++++=⇒++++=⇒⎨+=⎩ 22222125061644
a (t )t t m a
b t m t b t ⎧=-+⎪⎪≠∴⇒=+=
++≥∴≥⎨⎪=-⎪⎩
当且仅当t =时，取等号。

即4min m =
解法二：设方程的实根为t ，代入方程得：
2343400t tm i t ,m t i t t +++=≠∴=--- \
2222223425616164m (t )()t ,m m
t t
⇒=--+=++≥∴≥∴≥ 当且仅当t =时，取等号。

即4min m =
点评：本例将m 转化为关于t 的函数，利用函数的性质从而求出m 的模 的最小值。

?
$
复数范围内实系数一元二次方程（19题）
1、若实系数一元二次方程的一个根是
13+，则这个方程可以是 ．
2、复数集内分解221x x ++= ：
3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是
(A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ∆=-≥
(C)1212,b c x x x x a a
+=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+
4、判断下列命题的真假，并说明理由；
(1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ ）
(2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 <
一个根是12i -．（ ）
(3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ ）
5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -⋅=+．
6、适合方程20z z i --=的复数z ；
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7、适合方程2560z z -+=的复数z ；
8、解方程210x ix i -+-=
（1）x R ∈ （2）x C ∈
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9、已知复数Z 满足84Z Z i +=-，且Z 是关于x 的实系数一元二次方程2250x mx ++=的一个根，求m 的值。

10、如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是_____．
11、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有实根，则p 的值
是 ．
12、已知关于x 的方程2(4)30()x i x pi p ++++=∈R 有纯虚根，则p 的
值是 ． *
13、关于x 的方程2(4)30x i x pi ++++=无实根，求实数p 的取值范围；
14、实系数方程230x mx -+=的两虚根为,αβ，则αβ+= ；
%
15、已知关于x 的方程230()x kx k ++=∈R 有两个虚根α和β，且
||αβ-=k 的值是 ．
16、已知关于x 的方程250x x a ++=的两根12,x x ，且12||3x x -=，则实
数a 的值是 ．
17、已知关于x 的方程2220()x kx k k k ++-=∈R 有一个模为1的虚根，则k 的值是 ．
18、已知关于x 的方程：22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根α，
求实数a 的值.
19、已知m C ∈，关于x 的方程2340x mx i +++=有实数根，求复数m 的模的最小值。

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