复系数方程的求解
知识点:
1.复系数方程的一般求解方法;
2.复系数方程与实系数方程解的关联性;
教学过程:
1.系数为复数的方程统称为复系数方程;
2.复系数方程的一般求解方程方法为待定系数法;
3.复系数一元二次方程的根满足韦达定理;
4.复系数一元n次方程有且仅有n个根(k重根按k个根记),此结论由高斯在1797年的博士论文中严格证明。
并称为代数基本定理
......。
例1.解关于x的方程:
(1)2340
--=
x i
(2)2(1)0
-++=
x i x i
(3)2
i x i x i
+----=
(1)(1)260
(4)2(3)430
-+++=
x i x i
(5)22
-++--=
252(2)0
x x x x i
例2.设方程20x px k -+=有一个根是12i +。
(1)若p R ∈,求实数k 的值;
(2)若4p =,求复数k 的值;
例3.解关于x 的方程(1)(1)0,n n x x n N +--=∈。
例4.设1,,x u vi u v R =+∈是关于x 的方程20,,ax ibx c a b R ++=∈的根,求方程的另一个根;
例5.设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值,并求方程的根。
例6.已知关于x 的方程222(1)(1)0a i x a i a i +++++=有实数解,求实数a 积方程的根。
例7.已知关于x 的方程09)6(2=+++-ai x i x ,a R ∈有实数根b 。
(1)求实数,a b 的值;
(2)若复数z 满足02=----
z bi a z ,求z 为何值时,z 有最小值,并求出z 的值。
例8.关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中,12,,z z m 均是复数,且i z z 20164221+=-. 设这个方程的两个根为α、β,且满足72||=-βα.求|m |的最大值和最小值。
例9.已知方程6310x x ++=,求证:在复平面上连结(1,0)与以方程根为顶点的多边形各顶点的所有线段之积等于3.
例10.已知c o s c o s c o s s i n x y z x y z ++=++=,利用复数求证:c o s 2c o s 2x y z ++=。
例11.已知复数z 满足109111010110z z i zi ++-=,求证:||1z =。
作业:
1.解下列方程:
(1)2
z z =;(2)24||30z z -+=;(3)2250z zi --=;(4)2(3)430z i z i --+-=
2.已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根,试求纯虚数m 的值.
3.已知复数z 1满足:)(22,34)21(*11N n i z z i z i n n ∈+=-+=++.
(1)求复数z 1(2)求满足n z 13≤的最大正整数n.
4.已知关于x 的方程2430x zx i -++=有实数解,求复数z 的模的最小值;
5.设复数α、β对应于复平面上的点A 、B ,且04222=+-βαβα,13=+-i α,O 为原点,求OAB ∆的最大面积。
6.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z 求复数1995
201995219951,,,z z z 所对应的不同的点的个数;
7.关于x 的方程2120x z x z m +++=,12,,z z m C ∈的两个根,αβ满足||αβ-=,若212416200z z i ---=。
求||m 的最值。
8.已知方程2(4)40,x i x ai a R ++++=∈有实数根b ,且z a bi =+,求复数(1)(0)z ci c ->的辐角主值的取值范围。
9.如果复数||1w =,求证:关于x 的方程*1(),1n ix w n N ix
+=∈-的所有根都不是相等的实数。
10.设,,0p q C q ∈≠,关于x 的方程220x px q ++=的两个根的模相等,求证:p q
是实数。