.清华大学测量弹性模量试验物理实验完整报告班级学号结稿日期：弹性模量的测量实验报告一、拉伸法测弹性模量1.实验目的（1）.学习用拉伸法测量弹性模量的方法；（2）.掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用。

2.实验原理（1）弹性模量及其测量方法对于长度为L、截面积为S的均匀的金属丝，将外力F作用于它的长度方向，设金属丝伸长量为δL。

定义单位横截面上的垂直于横截面的作用力F/S为正应力，而金属丝的相对伸长量δL/L为线应变。

根据胡克定律，在弹性形变围，正应力与线应变成正比，表达式为：F S =EδLL（1）式中比例系数E=F/SδL/L称作材料的弹性模量，与材料本身的性质有关。

在本实验中，设钢丝的直径为D，则钢丝的弹性模量可进一步表示为：E=4FLπD²δL（2）公式（2）即为本实验的计算公式。

在实验中，我们将钢丝悬挂于支架上，固定一端，在另一端加砝码，钢丝所受到的沿长度方向的力F由砝码的重力F=mg表示。

用读数显微镜可以测出钢丝相应地伸长量δL（微小量）。

此外，钢丝长度L用钢尺测量（本实验中钢丝长度数据已给出），钢丝直径用螺旋测微计测量。

3.实验仪器竖直金属支架，读数显微镜，支架底座，螺旋测微计。

4. 实验步骤(1)调整钢丝竖直。

钢丝下端应先挂砝码钩，用以拉直钢丝。

调节底座螺钉，使得底座水平，保持钢丝以及下端夹具不与周围碰蹭。

(2)调节读数显微镜。

首先粗调显微镜高度，使得显微镜与标记线（细铜丝）同高。

然后进行细调，先调节目镜看到叉丝清晰的像，再前后移动镜筒看清标记线，使标记线的像与叉丝无视差。

(3)测量：测量钢丝长度L及其伸长量δL。

先读出无砝码，仅有砝码钩（质量为0.200kg）时标记线的位置（反映在鼓轮上），然后在砝码钩上每加一个砝码（质量均为0.200kg），读下一个位置yi。

先从无砝码逐步增加到九个砝码，增加完毕后，消除空程影响后，再依次递减到无砝码，又得一组数据。

用螺旋测微计在钢丝的不同地方测量直径D共6次，测量前后记录下螺旋测微计的零点d各3次。

5.数据记录（1）测量钢丝的长度L及其伸长量δL仪器编号：8 钢丝长度L=100.0cm另外，也可以采用逐差法分析数据，数据整理如下：（2）铜丝直径D测定螺旋测微计的零点d （单位：mm ）在不同位置六次测量钢丝直径6. 数据处理（1）钢丝的直径由表中数据，610.2106ii DD ===∑，对已定系差进行修正，得钢丝直径测量值0.217D D d =-=.标准偏差48.94410iD s mm -==≈⨯。

已知螺旋测微计的示值误差0.0040mm ∆=仪，故30.004108600709 4.010D mm -∆=≈≈⨯所以钢丝直径的测量值为(0.21700.0040)D mm =±。

（2）a.最小二乘法作图处理钢丝长度数据 由本实验的计算公式E =4FLπD²δL ，可令lk Fδ=，则计算公式化为24LE D kπ=以i F 为自变量，i y 为因变量，用Matlab 绘制图像如下：Figure 1钢丝长度（通过标记线位置反应）与砝码重力的关系图选取经验公式y a bx =+对i F 和i y 做最小二乘法分析，由表中数据计算出：0.2978a ≈，0.1319b ≈，而直线拟合的相关系数0.9996F yr ∆∆=≈，可见i F 和i y 线性关系良好。

根据拟合曲线的性质有ldlk b FdFδ===，所以k 的不确定度可用b 的不确定度表示。

由公式b s b =31.25693676410b s -≈⨯，故4-389.181748843100.910b b b t v t s s -∆==≈⨯≈⨯，故3(131.90.9)10(/)b mm N -=±⨯51015200.511.522.53砝码重力Fi （N ）鼓轮读数l i （m m ）b.逐差法处理钢丝长度数据 对表中的数据进行处理，由公式：5115n i ii i l ll n====∑∑（3）i l s ==（4）代入数据得 1.294l =，0.02019il s ≈，则0.02503560.025i A l t v s ∆==≈考虑仪器的误差，本实验读数显微镜测位置i y 的仪器误差为0.004mm,用它测5i i i l y y+=-，则0.0040mm B ∆=，故0.025********.025l ∆=≈≈，又因为5l l δ=，所以10.25885l l δ==且10.0055l l δ∆=∆≈，故测量得出的()0.2590.005l mm δ=±。

（3）钢丝弹性模量 a.最小二乘法计算弹性模量 由推导得出的计算公式24LE D bπ=，代入数据得()223644 1.0002050.21710131.910LE GPa D b ππ--⨯==≈⨯⨯⨯⨯（5）又因为3L mm ∆≈，故0.0376*******.040E E ∆==≈≈（6）所以0.0402058EE E GPa GPa E∆∆=≈⨯≈， 最终结果(2058)E GPa =±b.逐差法计算弹性模量对钢丝施加的力F=mg=0.200×9.80=1.96(N) 由实验计算公式，得()223344 1.96 1.0001020.217100.51810FL E GPa D l πδπ--⨯⨯==≈⨯⨯⨯⨯（7）实验室给出0.5,3,L mm F∆=∆≈F％故而0.042021568620.040E E ∆==≈≈（8）故0.040102 4.1EE E GPa GPa E∆∆=≈⨯= 最终结果(102.0 4.1)E GPa =±7.误差分析为了研究实验精度如何提高，下面讨论计算公式中各个物理量的误差对于最终误差的贡献。

a.最小二乘法拟合直线：由24L E D b π=得E E ∆=b.逐差法处理：由24FL E D l πδ=得E E ∆=各部分的相对不确定故直径测量对于弹性模量最终的准确度影响较大。

因而测量钢丝直径时，必须正确使用螺旋测微计的棘轮，并且要选定多个测量点进行测量，并且避免弄弯钢丝带来误差的加大。

另外在逐差法中，l δ的测量对于最终的测量精确度也有不小影响，因此，在每次转动鼓轮时，一方面要注意避免空程带来误差，一方面要使得每次叉丝对准标记线中央，尽量避免读数误差。

8.关于本实验其他方面的思考和问题讨论(1)螺旋测微计使用注意事项是什么？棘轮如何使用？测微计用毕后应作何处置？答：使用前后都应检查零点；测量时手握在螺旋测微计的绝热板部分，尽量少接触被测工件，以免热胀冷缩影响测量精度；测量时必须使用棘轮，当测微螺杆端面将要接触到被测物之前，应旋转棘轮，直至接触上被测物时，棘轮自动打滑，听到三声“嗒”的声音后应停止旋转棘轮读数；螺旋测微计用毕将螺杆回转几圈，留出空隙，防止因为热胀，螺杆变形。

（2）在本实验中读数显微镜作测量时哪些情况下会产生空程误差？应如何消除它？答:当手轮改变转动方向时产生空程，在连续测量的过程中如果反方向转手轮，便会产生空程误差。

消除的办法是：在增（减）砝码的测量过程中始终按一个方向转动手轮，从增砝码变为减砝码的时候，在开始读取减砝码数据之前应保证手轮已经在减砝码方向转过几圈。

（3）本实验如果改用光杠杆法测量微小伸长量，实验装置应作何考虑？答:光杠杆的平面镜两个前尖足放在支架平台上，后尖足应放在待测钢丝的下夹具平台上，这样便可通过望远镜和标尺观察平面镜的微小变化以测量钢丝的微小伸长量了。

具体的实验装置和原理图见下：Figure 2光杠杆法测量弹性模量原理图9.实验心得与体会（1）.通过本实验，我掌握了螺旋测微计和读数显微镜的使用，初步了解了拉伸法测量弹性模量的方法，提高了动手能力和对理论知识的理解。

（2）. 在本次实验中，砝码应该轻拿轻放，螺旋测微计的读数也要注意规则，不然会带来较大的误差。

（3）. 通过对实验结果的数据处理和分析，让我加深了对于最小二乘法和逐差法的理解，运用更加熟练。

二、动力学法测弹性模量1.实验目的（1）. 学习用动力学法测量弹性模量； （2）. 学习用实验方法研究与修正系统误差.2.实验原理考察一根细长棒（长度l 远大于比横向半径d ）的横振动。

沿x 方向建立一维坐标系，使得棒的轴线与坐标轴重合，棒的一端与坐标原点重合，将棒上距离左端x 处截面的z 方向位移设为η，E 为该棒的弹性模量，ρ为材料密度，S 为棒的横截面面积，2=z sI dS ⎰⎰为某一横截面的惯性矩。

根据动力学规律可以列出方程：2424+0t EI S x ηηρ∂∂=∂∂（9）假设棒中每点作简谐振动，可得方程（9）的通解为()()()1234,cosh sinh cos sin cos x t B Kx B Kx B Kx B Kx A t ηωφ=++++（10）式中142K EI S ωρ⎛⎫= ⎪⎝⎭为频率公式，ω对任意形状截面的试样，不同的边界条件均成立。

常数K 由边界条件确定。

已知根据本实验的边界条件，有 cos cosh 1Kl Kl ⨯=（11）用数值解法可以得上述方程的一系列根，它们分别为 n K l=0，4.730，7.853，10.996，14.137，...其中00K l =对应静止状态。

将1 4.730K l =记做第一个根，对应的振动频率称为基振频率。

于是试样在做基频振动时，存在两个节点，分别位于距离端面0.2240.776l l 和处。

我们将1 4.730K l =代入频率公式，得到基频振动的固有频率为1244.730EI l S ωρ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解出棒的弹性模量为：4332221.9978107.887010l Sl m E f I I ρω--=⨯=⨯（12）其中m lS ρ=为棒的质量，f 为棒的基振频率。

对于直径为d 的圆棒，惯量矩表达式为42=z 64sd I dS π=⎰⎰，代入上式得：3241.6067l m E fd =(13)但是，由于在实际实验测量时，常常不能满足dl “的细长棒”假设条件，故应在上式乘上修正系数1T （1T 可以根据d/l 的不同数值和材料的泊松比查表知），即得：32141.6067l m E f T d =(14)式（14）将作为本实验的计算公式。

3.实验仪器如下图，本实验中，用两根细线将被测试样悬挂在换能器1、 2下面。

两个换能器分别为激振器和拾振器。

信号发生器输出的信号加在激振器上，激发试样振动，拾振器将振动转变为电信号。

拾振器和信号发生器输出的信号分别加在示波器两个通道上，通过示波器波形和峰值示数判断样品发生基频共振的频率，并记录这一频率，进而计算弹性模量。

实验中还需要使用的仪器有：游标卡尺（测量棒的长度）和螺旋测微计（测量棒的直径）。