＝+0．18—（—0．13—0．075—0．04—0．075）=+0．50mm EI。＝EI3—（ES1+ES2+ES4+ES5）
＝＋0．02mm—（0＋0＋0＋0）mm＝＋0．02mm （4）计算封闭环的公差 T。＝T1+ T2+T3+T4 +T5
=0．13＋0．075十0．16＋0．075十0．04=0．48mm 校核结果表明，封闭环的上、下偏差及公差均已超过规定范围。



2 i
反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
i 1
由于尺寸链计算时，不是均方根偏差间的关系，而是以误
差量（或公差）间的关系来计算的，所以上述公式需改写成其
它形式。当零件尺寸为正态分布曲线时，其偶然误差ε与均方
根误差σ间的关系，可表达为：
ε=6σ 即：
6 若尺寸链中各组成环的误差分布，都遵循正态分布规律时，
A0max=
Ai max
Ai min
i1
i n 1
A = 0min
n
m
Ai min
Ai max
i1
in1
A1、A2、A4为增环 A3、A5、A6为减环
基本公式（续）
封闭环的极限偏差
n
m
ES0= ESi EIi
i1
in1
n
m
EI0= EIi ESi
在建立尺寸链时应遵守“最短尺寸链原则”，即对于某一封闭环，若 存在多个尺寸链时，应选择组成环数最少的尺寸链进行分析计算。
组成环是对封闭环有直接影响的那些尺寸，与此无关的尺寸要排除在 外。一个尺寸链的环数应尽量少。
查找装配尺寸链的组成环时，先从封闭环的任意一端开始，找相邻零 件的尺寸，然后再找与第一个零件相邻的第二个零件的尺寸，这样一
正态分布时： T 6 , T
6
非正态分布时： K • T
6
所以，封闭环公差的一般公式为：
N 1
T

K2 i

T2 i
i 1
各种K值可参考图表：
一些尺寸分布曲线的K及e值
若各组成环公差相等，即令Ti = TM 时，则可求得各环 的平均公差为：
TM
T2

N 1
在确定封闭环之后，应确定对封闭环有影响的各个组成环， 使之与封闭环形成一个封闭的尺寸回路。
在建立尺寸链时应遵守“最短尺寸链原则”，即对于某一封 闭环，若存在多个尺寸链时，应选择组成环数最少的尺寸链 进行分析计算。
查 找 组 成 环
在确定封闭环之后，应确定对封闭环有影响的各个组成环，使之与封 闭环形成一个封闭的尺寸回路。
0.1
0.01
Nominal Engagement =
2
Linear Tolerance Stack-up =
2
Complete Assembly RSS Tolerance =
0.66
概率解法
极值解法特点： 优点：简便、可靠、可保证不出现不合格品。
N 1
缺点：根据 T Ti 关系式所分配给各组成环公差过于严 i 1
Nominal 12 10 -15 0 -5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+/- Tol. Tol. Squared
0.3
0.09
0.3
0.09
0.4
0.16
0
0.00
0.1
0.01
0.1
0.01
0.1
0.01
0.1
0.01
0.1
0.01
0.1
0.01
0.1
0.01
0.1
0.01
0.1
0.01
格。甚至无法加工。不够科学、不够合理。
概率解法就可以克服极值解法的缺点，使其应用更为 科学、合理。
概率解法的数学依据：
在大批大量生产中，一个尺寸链中的各组成环尺寸的获得，
彼此并无关系，因此可将它们看成是相互独立的随机变量。相
互独立的随机变量。经大量实测数据后，从概率的概念来看，
有两个特征数：
（1）算术平均值 A ——这数值表示尺寸分布的集中位置。
（2）均方根偏差 δ ——这数值说明实际尺寸分布相对算术平
均值的离散程度。
A(算术平均）
独立随机变量之和的均方差为:
N 1




2 i
i 1
其中：
( A A)
i
i
-3δ +3δ
这是用概率法解尺寸链的数学基础，它反映了封闭环误差与组成环误差间的基本关系。
1. 各环公差计算
N 1
缺陷(PPM) 2700 63 .57 .002
Cpk 1 1.33 1.67 2
公差及尺寸链计算
d
e
c
a
b
公差累计表
Dimension Decription Dimension A Dimension B Dimension C Dimension D Dimension E Dimension F Dimension G Dimension H Dimension I Dimension J Dimension K Dimension L Dimension M Dimension N
尺寸链的计算
计算类型 计算方法 完全互换法解尺寸链计算公式 举例
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计算类型
正计算 已知各组成环的极限尺寸，求封闭环的极限尺 寸。这类计算主要用来验算设计的正确性，故又叫校 核计算。
反计算 已知封闭环的极限尺寸和各组成环的基本尺寸， 求各组成环的极限偏差。这类计算主要用在设计上， 即根据机器的使用要求来分配各零件的公差。
极值解法时的
TM

T N 1
，是包括了封闭环尺寸变动时
一切可能出现的尺寸，即尺寸出现在范围内的概率为100%；
而概率解法时的
TM
T2
N 1
，是正态分布下取误差范围内的
尺寸变动，即尺寸出现在该范围内的概率为99.73%，由于超
出之外的概率仅为0.27%，这个数值很小，实际上可认为不至
于出现，所以取作为封闭环尺寸的实际变动范围是合理的。
环接一环，直到封闭环的另一端为止，从而形成封闭的尺寸组
判断增 减环
在尺寸链线图中，常用带单箭头的线段表 示各环，箭头仅表示查找尺寸链组成环的 方向。与封闭环箭头方向相同的环为减环， 与封闭环箭头方向相反的环为增环。
A2 A3 A0
A1
A1 、A3为增环，A2为减环 B2、B4、B5为增环，B1、B3为减环
其他方法：在某些场合，为了获得更高的装配精度，而生产条件又不允 许提高组成环的制造精度时，可采用分组互换法、修配法和调整法等来 完成这一任务。
正态分布:Normal Distribution
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
Sigma % is “O.K.” +/- 3 99.73 +/- 4 99.9937 +/- 5 99.999943 +/- 6 99.9999998
尺寸链的基本概念及计算
尺寸链的基本概念
在设计机械零部件各要素的几何精度的同时，需要通 过综合分析计算来协调和保证零部件的整体精度的要 求。合理规定各要素的尺寸精度和形位精度，进行几 何精度综合分析计算，可以运用尺寸原理和相应的分 析计算方法。
在一个零件或一台机器的结构中，总有一些相互联系 的尺寸，这些相互联系的尺寸按一定顺序连接成一个 封闭的尺寸组，称为尺寸链。如图。
T2
mn
概率解法与极值解法的比较： 极值解法： T T T
M mn N 1
在计算同一尺寸链时，用概率解法可将组成环平均公差 扩大 N 1 倍。
但实际上，由于各组成环通常未必是正态分布曲线，即 Ki>1 ,故实际所求得的扩大倍数比 N 1 小些。
用概率解法可将组成环平均公差扩大 N 1 倍的原因：
其特性有二：封闭性——组成尺寸链的各个尺寸按一 定顺序构成一个封闭系统；相关性——其中一个尺寸 变动将影响其他尺寸变动。
尺寸链的组成
环:构成尺寸链的各个尺寸称为环。尺寸链的环分为封 闭环和组成环。
封闭环: 加工或装配过程中最后自然形成的那个尺寸。 如上图中的x、B0和A0。
组成环: 尺寸链中除封闭环以外的其他环。根据它们 对封闭环影响的不同，又分为增环和减环。
大数互换法（概率法）：该法是以保证大数互换为出发点的。生产实践 和大量统计资料表明，在大量生产且工艺过程稳定的情况下，各组成环 的实际尺寸趋近公差带中间的概率大，出现在极限值的概率小。采用概 率法，不是在全部产品中，而是在绝大多数产品中，装配时不需要挑选 或修配，就能满足封闭环的公差要求，即保证大数互换。
按各环所在空间位置分：线性尺寸链、平面尺 寸链 、空间尺寸链。尺寸链中常见的是直线尺 寸链。平面尺寸链和空间尺寸链可以用坐标投 影法转换为直线尺寸链。
按各环尺寸的几何特性分：长度尺寸链、角度 尺寸链。
本章重点讨论长度尺寸链中的线性尺寸链。
HOME
尺寸链的建立与分析
确定封闭环 查找组成环 判断增减环
i1
in1
封闭环的公差
m
T0= Ti i 1
校 核
计 校核计算举例
算 举 例
校核计算的步骤是：根据装配要求确定封闭环；寻找组成 环；画尺寸链线图；判别增环和减环；由各组成环的基本 尺寸和极限偏差验算封闭环的基本尺寸和极限偏差。
如图a所示的结构，已知各零件的尺寸：
A1=30
0 0.13