2019-2020学年九年级数学竞赛试卷
考试时间：120分钟 分值：150分 得分：
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（ ）
A ．3-
B ．32
- C ．0
D ．|﹣2|
2．下列运算正确的是（ ） A ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2 B ．
C ．（﹣2）3=8
D ．a 6﹣a 3=a 3
3．已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（ ）
A ．10
B ．7
C ．9
D ．8
4．已知方程组的解为，则2a ﹣3b 的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．﹣6
D ．﹣4 5．下列函数：①y=﹣x ；②y=2x ；③y=﹣；④y=x 2（x ＜0），y 随x 的增大而减小的函数有（ ）
A ．2个
B ．1个
C ．4个
D ．3个
6．下列变形正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.现有两个均匀的小正方体A ，B ，正方体A 的六个面分别标注的数字是1，2，3，4，5，6，正方体B 的六个面分别标注的数字是1，1，2，3，4，6.小明掷正方体A 朝上的数字是x ，小华掷正方体B 朝上的数字为y ，则他们分别任意掷一
次所确定的点P(x ，y )落在双曲线6
y x
=上的概率为( ).
A.16
B.536
C.1
9 D.112
8．某工厂计划用两个月把产量提高21%，如果每月比上月提高的百分数相同，求这个百分数．若设每月提高的百分数为x ，原产量为a ，可列方程为a （1+x ）2＝a （1+21%），那么解此方程后依题意作答，正确的是（ ）
座位号：
姓名：
班级：
A ．这个百分数为2.1%或10%
B ．x 1＝2.1，x 2＝0.1
C ．x 1＝﹣2.1，x 2＝0.1
D ．这个百分数为10%
9．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝90°，DC//AB,BC AC BC AC =⊥,，AC 和BE 分别是∠DAB 和∠CBA 的角平分线，交AD 和AC 于Ｅ和Ｆ点则BF EF 的
值是（ ）
A. 2-1 B ．
2+2 C ．2+1 D ．2
第9题图 第10题图
10．如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，AB ＝2，AD ＝10，C 是弧
BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH ⊥AC 于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm ，0.0007用科学记数法表示为 ．
12．某班的中考英语听力口语模拟考试成绩如下：
考试成绩/分 30 29 28 27 26 学生数/人
20
15
10
2
2
该班中考英语听力口语模拟考试成绩的众数比中位数多 分．
13．在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为
，则a 的值是 ．
第13题图 第14题图
14．小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN ＝90°，在射线AM 上取一点B ，在射线AN 上取一点C ，连接BC ，再作点A 关于直线BC 的对称点D ，连接AD 、BD ，得到如上图形，移动点C ，小南发现：当AD ＝BC 时，∠ABD ＝90°；请你继续探索；当2AD ＝BC 时，∠ABD 的度数是 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：()()3-2218114.3162110
3
2020+
---+⎪⎭
⎫ ⎝⎛---π21-+
16. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：
今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹。
问人、绢各几何？
请解答上述问题.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，已知点O 及△ABC 的顶点均为网格线的交点．
（1）将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°，得到△A 1BC 1，请在网格中画出△A 1BC 1； （2）以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的三倍，得到△DEF ，请在网格中画出△DEF ．
18．【阅读理解】
借助图形的直观性，我们可以直接得到一些有规律的算式的结果，比如：由图①，通过对小黑点的计数，我们可以得到1+2+3+…+n＝n（n+1）；由图②，通过对小圆圈的计数，我们可以得到1+3+5+…+（2n﹣1）＝
n2．
那么13+23+33+…+n3结果等于多少呢？
如图③，AB是正方形ABCD的一边，BB′＝n，B′B″＝n﹣1，B″B′′′＝n ﹣2，……，显然AB＝1+2+3+…+n＝n（n+1），分别以AB′、AB″、AB′′′、…
为边作正方形，将正方形ABCD分割成块，面积分别记为S n、S n﹣1、S n﹣2、…、S1．【规律探究】
结合图形，可以得到S n＝2BB′×BC﹣BB′2＝，
同理有S n﹣1＝，S n﹣2＝，…，S1＝13．
所以13+23+33+…+n3＝S四边形ABCD＝．
【解决问题】
根据以上发现，计算：
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 衡安学校的北大门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边
长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60º（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60º缩小为10º（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5º≈0.0872，cos5º≈0.9962，sin10º≈0.1736，cos10º≈0.9848）．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC=AD ．过
A 作⊙O 的切线，过C 作DA 的平行线，两直线交于F ，FC 的延长线交A
B 的延长线于点G ．
（1）填空：∠D= °； （2）求证：FG 与⊙O 相切；
（3）连结EF ，求tan EFC 的值．
60º
D
A
C
B
…
20个
（图2）
10º
D 1A 1
C 1
B 1
…
20个 （图3）
（图1）
六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．
新冠肺炎期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧．某电商平台在A 社
区随机抽取了100户家庭进行调研．获得了他们每户家庭近七天“线上买菜”消费总金额（单位：百元），整理得到如图所示统计表：
（1）填空：m = ；
（2）从“线上买菜”消费总金额不低于5百元的被调研家庭中，随机抽取2
户家庭给予奖品，求这2户“线上买菜”消费总金额均低于6百元的概率；
（3）若A 社区有2800户家庭，假设每组中的数据用该组数据所在范围的组．
中值．．
代替，试以这100户家庭“线上买菜”消费平均水平估计该平台在A 社区每天平均销售总金额．（说明：组中值是各组上下限数的简单平均．．．．．．．．．．．．．．．，如32<≤x 的组中值为2.5）
22. 如图，抛物线y =a 2
x 22
3
--
x （a ≠0）的图象与X 轴交于A 、B 两点，与Y 轴交于C 点，且OA 1=． （1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．
七、（本大题满分14分）
23．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若P A＝3，PC＝4，则PB＝．
（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．。