t 2
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
达朗贝尔惯性力
dx
x
横截面上内力： 达朗贝尔原理：
F ES ES u
x
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx)
F
p(x,t)dx
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
0 x dx l
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
（杆的边界条件确定固有频率）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函 数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 i 有无穷多个 （下面讲述）
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2u t 2
a02
2u x 2
q(t) a sin(t
u(x,
)
t)
(x)q(t)
(x) c1 sin
x
达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx)
F
p(x,t)dx
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p(x,t)
杆的纵向强迫振动方程
等直杆ES 为常数
2u t 2
a02
2u x 2
1 S
p(x,t)
a0 E / 弹性纵波沿杆的纵向传播速度
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
F
dx 2 y 达朗贝尔 t2 惯性力
达朗贝尔原理：
dx 2 y F ( dx) F p(x,t)dx
t 2
x
令：a0 E /
并考虑到： y
x
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
a0 弹性横波的纵向传播速度
弦的横向强迫振动方程
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）轴的扭转振动
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度 系统是完全类似的
教学内容
• 第一节 一维波动方程 • 第二节 梁的弯曲振动 • 第三节 集中质量法 • ﹡第四节 假设模态法 • ﹡第五节 模态综合法 • ﹡第六节 有限元法
说明
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律
l
杆参数：杆长 l
截面积 S
材料密度 弹性模量 E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形 p(x,t) 单位长度杆上分布的纵向作用力
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
微段分析 p(x,t)
x
0 x dx l
u u dx x
u p(x,t)dx
F
F F dx x
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 Sdx 2u
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p( x, t )
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Ip
材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时 刻 t 的角位移
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
p( x, t )
x dx
x
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
I
p
dx
2
t 2
2
t 2
a
2 0
2
x2
1
I p
p(x,t)
a0
G
剪切弹性波的 纵向传播速度
连续系统的振动 / 一维波动方程
小结：
（1）杆的纵向振动
（2）弦的横向振动
第四章 连续系统的振动
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
（2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动满足微振动的前提
连续系统的振动 / 一维波动方程
第一节 一维波动方程
• 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 一、动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
y
y( x, t )
弦的定义: 很细长
F
o
弦两端固定，以张力 F 拉紧
x
p( x, t )
dx
F
x
在分布力作用下作横向振动 振动中认为张力不变 微段受力情况
单位长度弦的质量
p(x,t) 单位长度弦上分布的作用力
微振
sin
dx pdx
F
dx x
建的横截面在 t 时刻的横向位移
q(t) q(t)
a02
( x) (x)
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
q(t) q(t)
a02
'' (x) (x)
记： 2
q(t) 2q(t) 0
(
x)
(
a0
)2
(
x)
0
通解： q(t) a sin(t )
(
x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
c1, c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
x
a0
c2
cos
x
a0
i
一一对应
i (x)
第 i 阶主振动：
u(i) (x, t) aφi i (x) sin(it i ),
(i 1,2 )
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
u(x, t) ai i sin(it i ) i 1
（3）轴的扭转振动
2u t 2
a02
2u x 2
1 S
p(x,t)
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
2 t 2
a
2 0
2 x2
1 I p
p(x,t)
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 二、固有频率和模态函数
p( x, t )
x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
方程：
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
a0
纵向自由振动方程：
2u t 2
a02
2u x 2
E/
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
q(t) 表示运动规律的时间函数 (x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
2 I pdx t2
达朗贝尔 惯性力偶
截面处的扭矩为 T
I pdx ：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理：
I
p
dx
2
t 2
(T
T x
dx) T
pdx
0
I p
2
t 2
T x
p( x, t )
材料力学：
T
GI p
x
I p
2
t 2
x (GI p
)
x
p(x,t)