第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。

4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。

（见P8）5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。

6、解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。

一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。

答案为{}51<<-x x 。

(解略) （3）532<+<-x (2) 392+≤-x x(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x(2)解：（1）法一：原不等式⎩⎨⎧+≤-≥-⇔390922x x x ①或⎩⎨⎧+≤-<-390922x x x ② 由①解得433≤≤-=x x 或，由②解得32<≤x ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法二：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或423≤≤-=⇔x x 或∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法三：设)33,9221-≥+=-=x x y x y （，由392+=-x x 解得非曲直2,3,4321=-==x x x ，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使21y y ≤的x 的范围是433≤≤-=x x 或，∴原不等式的解集是{342-=≤≤x x x 或（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x xx x >++。

分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。

解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。

练习：x x 3232->-(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。

说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 解不等式125x x -++<。

分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。

2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。

解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x当1>x 时，得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得：21<<x综上，原不等式的解集为{}23<<-x x 。

说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。

三、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D)k ≤-3分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。

2x解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。

（3）分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-<x 时，01,03<+<-x x ∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x ②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}321|{<<x x ③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x综上，原不等式的解集为}21|{>x x也可以这样写： 解：原不等式等价于①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ，解①的解集为φ，②的解集为{x|21<x<3}，③的解集为{x|x ≥3},∴原不等式的解集为{x|x>21}方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点∴原不等式的解集为{x|x>21}变式：（1）若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。

解：由几何意义可知，12+++x x 的最小值为1，所以实数a 的取值范围为()1,∞-。

（2）数轴上有三个点A 、B 、C ，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M ，使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。

解：设M （x ，0）则它到A 、B 、C 三点的距离之和()521-+-++=x x x x f即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+-<≤+≥-=1,6321,852,45,63x x x x x x x x x f由图象可得：当()62min ==x f x 时四、典型题型1、解关于x 的不等式10832<-+x x解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，即⎩⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---2、解关于x 的不等式2321>-x 解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x解得：331<<-x∴ 原不等式的解集为)3,31(-4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈解：⑴ 当012≤-m 时，即21≤m ，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。

⑵ 当012>-m 时，即21>m ，原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m解得：m x m <<-1 综上，当21≤m 时，原不等式解集为空集;当21>m 时，不等式解集为{}m x m x <<-15、解关于x 的不等式1312++<--x x x解：当3-<x 时，得⎩⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解当213≤≤-x ，得⎪⎩⎪⎨⎧++<---≤≤-13)12(213x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得⎪⎩⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)21 6、解关于x 的不等式521≥++-x x （答案：),2[]3,(+∞--∞ ） 解：五、巩固练习1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .2、已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围 是 ．3、不等式121≥++x x 的实数解为 ． 4、解下列不等式 ⑴4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+； ⑶ |21||2|4x x ++->；⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2（a R ∈） 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）.A 8 .B 2 .C 4- .D 8- 6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-7、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ；()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；8、不等式x x 3102≤-的解集为（ ）.A {|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {}|5x x ≤≤ 9、解不等式：221>-+-x x10、方程x x x x x x 323222++=++的解集为 ，不等式xxx x ->-22的解集是 ；12、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )21,0(11、不等式3529x ≤-<的解集是.A ()(),27,-∞-+∞ .B []1,4 .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7-12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值13、解关于x 的不等式：①解关于x 的不等式31<-mx ；②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）..A (0,2) .B (2,0)(2,4)- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)--15、 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}21,2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B 等于 ( ).A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .D ∅ 16、不等式211x x --<的解集是 ．17、设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈（参考答案）1、 6 ； ∅ ；2、 ]4,0[3、)23,2()2,(----∞4、⑴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><231x x x 或 ⑵ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x ⑶ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<121x x x 或 ⑷ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-527212x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时，{}a x a x 22<<-；当0≤a 时，不等式的解集为∅ 5、C 6、D 7、⑴ 3<a ； ⑵ 4>a ； ⑶ 7>a ； 8、C 9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或11、D 12、 1513、① 当0=m 时，R x ∈；当0>m 时，m x m 42<<-；当0<m 时，mx m 24-<< ② 当01>+a ，即1->a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-122a x a x ；当01≤+a ，即1-≤a 时，不等式的解集为∅； 14、D 15、B 16、0(，)217、当01>-a ，即1<a 时，不等式的解集为{}a x a x x -><2或；当01=-a ，即1=a 时，不等式的解集为{}1≠x x ； 当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为R ；。