第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。

杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5πϕ=rad ，并且当运动开始时，角0=ϕ，求尺上D 点的运动方程和轨迹。

解： 已知t πϕ2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π=消去时间t 得到点D 的轨迹方程为11002002222=+DD y x （椭圆）4-2 图示AB 杆长l ，以t ωϕ=的规律绕B 点转动，ω为常量。

而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。

求A 点的轨迹。

解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为ϕsin l s x += ，ϕcos l y -=，即()t l b a x ωsin ++= t l y ωcos -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为：2222()1()x a y b l l-+=+.（椭圆）4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。

设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。

求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。

解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++=+t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套A 的速度和加速度为220d d l x xv t x v A +-==， 3220d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。

4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。

设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ωϕ=，其中ω为常量。

试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。

解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-⋅⋅其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式题 4-1图题4-2图题4-3图可以得到 0cos 222B 2B =-+-R e t ey y ω， 解出2)(4)cos 2(cos 2222B R e t e t e y --+=ωωt e R t e ωω222sin cos -+= )sin 22sin (sin d d 222te R te t e t y v B B ωωωω-+-==))sin (4sin sin 2cos (cos d d 2322222222t e R te e R t e t e t v a B B ωωωωωω-+-+-==.4-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M ，其余条件不变。

试求物块上B 点的运动方程、速度和加速度。

解：由右图所示t e R y B ωcos +=，t e dtdy v BB ωωsin -==， t e dtdv a BB ωωcos 2==. 4-6 图示a 、b 、c 三种机构，已知机构尺寸h 和杆OA 与铅直线的夹角t ωϕ=，其中ω为常量，分析并比较它们的运动：1）穿过小环M 的杆OA 绕O 轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。

2）绕O 轴转动的杆OA ，推动物块M 沿水平面滑动，求物块M 上一点的速度和加速度。

3）杆OA 绕O 轴转动时，通过套在杆上的套筒M 带动杆MN 沿水平轨道运动，求MN 上一点的速度和加速度。

a) b) c)题 4-6图解：经分析图a)、b) 、c) 中M 点速度和加速度相同。

以O 为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴。

对图在a)、 b) 、c) 中M 点都有t h h x ωϕtg tg ⋅=⋅=， th x v ωω2cos ==&， t t h x a ωωω32cos sin 2==&&.题4-4图题4-5图4-7 图示滑道连杆机构。

已知10.BO =m ；10.OA =m ，滑道连杆BC 绕轴B 按t 10=ϕ的规律转动（ϕ以rad 计）。

试求滑块A 的速度和加速度。

解： 如右图所示。

以B 为极点和BO 为极轴建立极坐标系，则A 点的运动方程为()t OA 10cos 2⋅⋅=ρ ， t 10=ϕ. A 点的速度为()t OA dt d v 10sin 20⋅⋅-==ρρ，()t OA dtd v 10cos 20⋅⋅==ϕρϕ， s m 220222==+=OA v v v ϕρ.A 点的加速度为()t OA tt a 10cos 400)d d (d d 222⋅⋅-=-=ϕρρρ，()t OA tt a 10sin 4)d d (d d 12⋅⋅-==ϕρρϕ. s m 4022=+=ϕρa a a .也可以用直角坐标法求解，并求出A 点地切向和法向加速度。

4-8 如图所示，一直杆以t 0ωϕ=绕其固定端O 转动，其中0ω为常量。

沿此杆有一滑块以匀速0v 滑动。

设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O 点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）。

解： 以O 为极点，水平方向为极轴，点M 的运动方程为t v 0=ρ， t 0ωϕ=消去时间t ，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为ϕωρ0v =.4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为()m 32sintx π=()m 34sin4ty π+=，设0=t 时，0=s ；坐标s 的起点和0=t 时点的位置一致，s 的正方向相当于x 增大的方向。

试求轨迹的直角坐标方程)( x f y =、点沿轨迹运动的方程)( g t s =、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。

解：由运动方程消去t ，得轨迹方程：42+=x y ，（22<<-x ）题4-7图题4-8图0=t 时，由 t ty x s d 3cos203d d d 22ππ⋅⋅=+=，积分得点的运动方程t s 3sin472.4π=；点的速度和加速度在轨迹切线上的投影为：()s m 3cos683.4ts v π==&， t v a t 3sin 904.4π-==& ()2s m .4-10 点沿平面曲线轨迹xe y =向x 、y 增大的方向运动，其中x 、y 的单位皆为m ，速度大小为常量m/s 12=v 。

求动点经过m 1=y 处时，其速度和加速度在坐标轴上的投影。

解：点的切向加速度和法向加速度为0==dtdva t ， ρ2v a n =； 式中 yy '''+=232)1(ρ， xe x y y ==d d &， x e x y y ==22d d && 当1=y 时， 0=x ，1=y &，1=y &&有 22=ρ， oy 45arctan '==θ，2362==ρv a n s m ∴ 当m y 1=时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为：2622x y v v v m s === 2s m 3622-=-=n x a a ，2s m 3622==n y a a 4-11 如图所示，曲柄CB 以等角速度0ω绕C 轴转动，其转动方程为t 0ωϕ=。

通过滑块B 带动摇杆OA 转动。

设h OC =，r CB =。

求摇杆转动方程。

解：由题图所示：()θϕϕtan cos sin r h r -=由此解出杆的转动方程为 tr h tr 00cos sin arctanωωθ-=4-12 已知图示机构的尺寸如下：m 2021.r AM B O A O ====；AB O O =21。

如轮1O 按t π15=ϕ（ϕ单位为rad ）的规律转动，求当50.=t s 时，杆AB 上的点M 的速度和加速度。

解： 点M 与点A 有相同的速度和加速度， 即s m 42.92.015=⋅===πωr v v M A 222s m 15.4442.0)15(=⋅===πωr a a M A题4-11图4-13 机构如图所示，假设AB 杆以匀速u 运动，开始时0=ϕ。

试求当4πϕ=时，摇杆OC 的角速度和角加速度。

解：OC 杆转角ϕ满足lvt=ϕtan ， 对时间t 求导得 ϕϕ2cos l v =&，ϕϕϕ&&&2sin lv -= 将 4πϕ=代入得2vlω=， 222v l α=-.负号表示α与ϕ方向相反。

4-14 纸盘由厚度为a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v 拉纸条。

求纸盘的角加速度（以半径r 的函数表示）。

解： 设纸盘在t=0时刻的初始半径为R ，则在t 时 刻纸盘减少的面积为avt r R =-22ππ ωr v = 将以上两式分别对时间求导，得av dt drr=-π2 dtd rdt dr ωω+=0 纸盘的角加速度 322rav dt d πωα==.4-15 图示滚子传送带，已知滚子的直径0.2m =d ，转速为50r/min =n 。

求钢板在滚子上无滑动运动的速度和加速度，并求在滚子上与钢板接触点的加速度。

解：设钢板上的'M 点与滚子上的M 点接触，钢板平动速度s m ndv v v M M /524.06022'=⨯===π 钢板加速度 0==dtdva滚子上M 点的加速度0M =τa ， 22n Ms m 74222/.dm v a==题4-13图题4-14图题4-15图4-16 图示机构中，杆AC 以匀速0v 沿水平导槽向右运动，通过滑块A 使杆OB 绕O 轴转动。

已知O 轴与导槽相距h 。

试求杆OB 的角速度和角加速度。

解： OA 杆转角ϕ满足htv 0tan =ϕ， 对时间t 求导得ϕϕ20cos h v =&，ϕϕ2sin 0hv-=&&ϕ&其中220222cos t v h h +=ϕ，2202022sin tv h htv +=ϕ∴ 22020t v h hv +==ϕω&， 2220230)(2t v h thv +=α.4-17 小环A 沿半径为R 的固定圆环以匀速0v 运动，带动穿过小环的摆杆OB 绕O 轴转动。

试求OB 的角速度和角加速度。

若l OB =，试求B 点的速度和加速度。

解： 设角ADC 为θ，由题义知R v ⋅=θ&0，R v 0=θ& 因D 为圆心，有角AOC =12ADC ，设角AOC 为ϕ，则OB 杆的角速度为0==22v Rθωϕ=&&角加速度0=α以O 为原点取直角坐标系，B 坐标为ϕϕsin y ,cos x B B l l ==B 点的速度为l R v v Rv l R v l 2y x 2cos y ,2sin -x 02B 2B 0B0B =+=⋅=⋅=&&&&ϕϕB 点的加速度为l Rv a R v l R v l 2202B 2B 22B 220B 4y x 4sin -y ,4cos -x =+=⋅=⋅=&&&&&&&&ϕϕ题4-16图题4-17图4-18 长度为l OA =的细杆可绕O 轴转动，其端点A 紧靠在物块B 的侧面上。