函数值域求法大全HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域。

解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程（1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：]2,0[22222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54x 3++值域。

解：由原函数式可得：3y 5y64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53, 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。

解：由原函数式可得：1y 1y e x -+= ∵0e x > ∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域。

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为： 即1y y3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即11y y312≤+≤- 解得：42y 42≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,426. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。

解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log 2y 33min =-+=- 当x=10时，339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。

解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222=显然0y >，故原函数的值域为]2,0(7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥则1t x 2+= ∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知当0t =时，1y min =当0t →时，+∞→y故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域。

解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0 故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域。

解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x ，则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2 当82k π-π=β时，41y max = 当82k π+π=β时，41y min -= 而此时βtan 有意义。

故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域。

解：)1x )(cos 1x (sin y ++=令t x cos x sin =+，则)1t (21x cos x sin 2-= 由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得：2t 22≤≤ ∴当2t =时，223y max +=，当22t =时，2243y += 故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243。

例15. 求函数2x 54x y -++=的值域。

解：由0x 52≥-，可得5|x |≤ 故可令],0[,cos 5x π∈ββ=∵π≤β≤0当4/π=β时，104y max +=当π=β时，54y min -= 故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域。

解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。

由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。

解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 22min =+++==， 故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域。

解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。

即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<- 即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。

如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。

9. 不等式法 利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域。

解：原函数变形为：当且仅当x cot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈，等号成立故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域。

解：x cos x sin x sin 4y =当且仅当x sin 22x sin 22-=，即当32x sin 2=时，等号成立。

由2764y 2≤可得：938y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法 原理：因为)0c (d cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。

故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域。

解：∵定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-= 故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-= 解得23y 23y ->-<或 故函数的值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323,11. 多种方法综合运用例22. 求函数3x 2x y ++=的值域。