第三章 第一节 函数与方程
一、函数的零点
1、实例：填表
2、函数零点的定义：____________________________叫做函数的零点 （注意：________________________） 题型一 求函数的零点
1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( )
A ．2；2
B ．(2,0)；2
C ．－2；－2
D ．(－2,0)；－2
2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．a<4
B ．a>4
C ．a ≤4
D ．a ≥4
3．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点．
5、求下列函数的零点 （1）9
1
27)(-=x
x f （2）)1(log 2)(3+-=x x f
二、零点定理
1、方程的根与函数零点的关系：
方程f(x)=0的根⇔函数f(x)的零点⇔函数与x 轴交点的横坐标 2、零点定理： 如果函数
()
y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得
()0f c =，这个
c 也就是方程()0f x =的实数根。
问题1：去掉“连续不断”可以吗？
问题2：如果函数
()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个零点，对不对？
问题3：如果函数
()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有
0)()(>b f a f 那么函数()y f x =在区间(,)a b 上无零点，对不对？
题型二、判断区间内有无零点 1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．无法确定
2． 函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1
(1,)e
和（3，4） D ．(,)e +∞
3．设函数f(x)=2x
-x 2
-2x ，则在下列区间中不存在．．．零点的是（ ） A.（-3，0） B.（0，3） C.（3，6） D.（6，9）
4、方程521
=+-x x 在下列哪个区间内一定有根？（ ） A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4）
5、根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( )
D ．(2,3)
三、判断零点的个数
方法①：转化为判断方程f(x)=0的根的个数，解方程
例：函数f(x)=x -x 1的零点有______个
方法②：从图像判断零点个数
例1：已知函数f(x)为R 上奇函数，且在（0，+∞）上有1003个零点，则f(x)在R 上的零点的总个数为______
例2：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=3
0,log 3,
3
)(3x x x x x f
（1）方程f(x)=0有几个根？ （2）方程f(x)=1有几个根？
（3）方程f(x)=k 有几个根？ （4）方程f(x)=-x 有几个跟？
总结：如何利用图像判断f(x)=g(x)有几个根？
题型三 判断零点个数（方程根的个数）
1、函数⎩
⎨⎧>-≤-+=0ln 0,32x 2x x x x x f ）（的零点有_______个 2、23,
(1)(),()()23,(1)
x x x f x g x f x e x x x +≤⎧==-⎨-++>⎩则函数的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、方程lnx+2x-6=0有几个根？
4、若函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=3
0,log 3
,3
)(f 3x x x x x ，若方程f(x)=k 有两个不同实根，求实数k 的取值范围
5、已知函数⎩
⎨⎧>-≤=0,0,x 2x x x x x f ）（，若g(x)=f(x)-m 有三个不同零点，求实数m 取值范围
四、二分法求零点的近似值
二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
题型四 二分法
1、用二分法求方程x ³-x-4=0在区间[1,3]内的实根，应计算f(___)，下一个有根的区间是____
2、用二分法求f(x)=x
3-x-4=0的一个零点，参考数据如下：
f(1.6000)=0.200 f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067
f(1.5625)=0.003 f(1.5562)=-0.029 f(1.5500)=-0.060 据此数据，可得方程043x
=--x 的一个近似解为_______ 3、
综合练习
1、已知函数f(x)=ax ²-2x+1(a ≥0) （1）讨论f(x)在[0,2]上的单调性
（2）若a>1,求f(x)在[0,2]上的最大最小值
（3）若f(x)在区间（0，2）上只有一个零点，求a 的范围
2、定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－1
2，求满足f(log 1
9x)≥0的x 的取值集合．。