慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1.集合一般地,把一些能够________________对象瞧成一个整体,就说这个整体就是由这些对象________构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…来表示.2.元素构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示.3.空集不含任何元素的集合叫做空集,记为∅、知识点二 集合与元素的关系 1.属于如果a 就是集合A 的元素,就说a ________集合A ,记作a ________A 、 2.不属于如果a 不就是集合A 中的元素,就说a ________集合A ,记作a ________A 、 知识点三 集合的特性及分类 1.集合元素的特性________、________、________、 2.集合的分类(1)有限集:含有________元素的集合. (2)无限集:含有________元素的集合. 3.常用数集及符号表示知识点四 1.列举法把集合的元素________________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法. 知识点五 集合与集合的关系 1.子集与真子集2(1)规定:空集就是____________的子集,也就就是说,对任意集合A ,都有________. (2)任何一个集合A 都就是它本身的子集,即________. (3)如果A ⊆B ,B ⊆C ,则________. (4)如果A ⊆B ,B ⊆C ,则________. 3.集合相等4如果A ⊆B ,B ⊆A ,则A ＝B ;反之,________________________、 知识点六 集合的运算 1.交集2.并集34、全集在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集,通常记作________.5.补集典例精讲题型一判断能否构成集合1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x2－2＝0的实数解”中,能够构成集合的就是。

题型二验证元素就是否就是集合的元素1、已知集合{}Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,22、 求证:(1)3∈A;(2)偶数4k-2(k ∈Z)不属于A 、2、集合A 就是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的,判断321-就是不就是集合A 中的元素、题型三 求集合1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集就是( )A 、⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7 B.{x ,y |x ＝3且y ＝－7}C.{3,－7}D.{(x ,y )|x ＝3且y ＝－7}2.下列六种表示法:①{x ＝－1,y ＝2};②{(x ,y )|x ＝－1,y ＝2};③{－1,2};④(－1,2);⑤{(－1,2)};⑥{(x ,y )|x ＝－1或y ＝2}.能表示方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0x －y ＋3＝0的解集的就是( )A.①②③④⑤⑥B.②③④⑤C.②⑤D.②⑤⑥3、数集A 满足条件:若a ∈A ,则1＋a 1－a∈A (a ≠1).若13∈A ,求集合中的其她元素、4.已知x ,y ,z 为非零实数,代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合就是M ,用列举法表示集合M 为 。

题型四 利用集合中元素的性质求参数1.已知集合S ＝{a ,b ,c }中的三个元素就是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不就是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2、设a ,b ∈R ,集合{1,a ＋b ,a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a b ,则b －a ＝________、3、已知P ＝{x |2＜x ＜k ,x ∈N ,k ∈R },若集合P 中恰有3个元素,则实数k 的取值范围就是________、4、已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}、(1)若A 就是单元素集合,求集合A ;(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.5、已知集合A 就是由0,m ,m 2－3m ＋2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 的值为( )A.2B.3C.0或3D.0或2或36.(2016·浙江镇海检测)已知集合A 就是由0,m ,m 2－3m ＋2三个元素构成的集合,且2∈A ,则实数m ＝________、题型五 判断集合间的关系1、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214,则M 与N 的关系正确的就是( ) A 、 M=N B 、N M ≠⊂ C 、N M ≠⊃ D 、以上都不对2.判断下列集合间的关系: (1)A ＝{x |x －3＞2},B ＝{x |2x －5≥0}; (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3},B ＝{x |x ＝|y |,y ∈A }.3.已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16,m ∈Z },N ＝{x |x ＝n 2－13,n ∈Z },P ＝{x |x ＝p 2＋16,p ∈Z },试确定M ,N ,P 之间的关系、题型六 求子集个数1.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0,a ∈R },若集合A 有且仅有2个子集,则a 的取值构成的集合为________.题型七 利用两个集合之间的关系求参数1、已知集合A ＝{1,2,m 3},B ＝{1,m },B ⊆A ,则m ＝________、2.已知集合A ＝{1,2},B ＝{x |ax －2＝0},若B ⊆A ,则a 的值不可能就是( )A.0B.1C.2D.33.设集合A ＝{x |－2≤x ≤5},B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}、 (1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.题型八 集合间的基本运算1.下面四个结论:①若a ∈(A ∪B ),则a ∈A ;②若a ∈(A ∩B ),则a ∈(A ∪B );③若a ∈A ,且a ∈B ,则a ∈(A ∩B );④若A ∪B ＝A ,则A ∩B ＝B 、其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知集合M ＝{x |－3<x ≤5},N ＝{x |x >3},则M ∪N ＝( ) A.{x |x >－3} B.{x |－3<x ≤5} C.{x |3<x ≤5}D.{x |x ≤5}3.已知集合A＝{2,－3},集合B满足B∩A＝B,那么符合条件的集合B的个数就是()A.1B.2C.3D.44.(2016·全国卷Ⅲ理,1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0},T＝{x|x>0},则S∩T＝()A.[2,3]B.(－∞,2]∪[3,＋∞)C.[3,＋∞)D.(0,2]∪[3,＋∞)5.下列关系式中,正确的个数为()①(M∩N)⊆N;②(M∩N)⊆(M∪N);③(M∪N)⊆N;④若M⊆N,则M∩N＝M、A.4B.3C.2D.16.设U＝{0,1,2,3},A＝{x∈U|x2＋mx＝0},若∁U A＝{1,2},则实数m＝________、7.(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4},集合A＝{x|－2<x<3},B＝{x|－3≤x≤2},求A∩B,(∁U A)∪B,A∩(∁U B)、8.设全集U＝{1,2,3,4,5},集合S与T都就是U的子集,满足S∩T＝{2},(∁U S)∩T＝{4},(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有()A.3∈S,3∈TB.3∈S,3∈∁U TC.3∈∁U S,3∈TD.3∈∁U S,3∈∁U T题型九根据集合运算的结果求参数1.若集合A＝{2,4,x},B＝{2,x2},且A∪B＝{2,4,x},则x＝________、2.已知集合A＝{x|－1≤x＜3},B＝{x|2x－4≥x－2}、(1)求A∩B;(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0},满足B∪C＝C,求实数a的取值范围.3.设A＝{x|x2＋8x＝0},B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0},其中a∈R、如果A∩B＝B,求实数a的取值范围、4.已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}与B＝{x|x2－ax＋b＝0},满足(∁U A)∩B＝{2},A∩(∁U B)＝{4},U＝R,求实数a,b的值、5.U＝{1,2},A＝{x|x2＋px＋q＝0},∁U A＝{1},则p＋q＝________、4.设全集U＝R,集合A＝{x|x≤1或x≥3},集合B＝{x|k＜x＜k＋1,k＜2},且B∩(∁U A)≠∅,则()A.k＜0B.k＜2C.0＜k＜2D.－1＜k＜26.已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{x|x2－5x＋6＝0},C＝{x|x2＋2x－8＝0},试探求a取何实数时,(A∩B) ∅与A∩C＝∅同时成立、题型十交集、并集、补集思想的应用1.若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0,x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解,试求实数a的取值范围.题型十一集合中的新定义问题1.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”、(1)判断集合A＝{－1,1,2}就是否为可倒数集;(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.2.集合P＝{3,4,5},Q＝{6,7},定义P*Q＝{(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为()A.7B.12C.32D.643.当x∈A时,若x－1∉A,且x＋1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”,若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′,集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′,则M′∪N′＝()A.{0,1,3,4}B.{1,4}C.{1,3}D.{0,3}4.设U为全集,对集合X,Y定义运算“*”,X*Y＝∁U(X∩Y),对于任意集合X,Y,Z,则(X*Y)*Z＝()A.(X∪Y)∩∁U ZB.(X∩Y)∪∁U ZC.(∁U X∪∁U Y)∩ZD.(∁U X∩∁U Y)∪Z5.设数集M＝{x|m≤x≤m＋34},N＝{x|n－13≤x≤n},且M,N都就是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值就是________、6.设A,B就是两个非空集合,定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A,且x∉B}、(1)试举出两个数集,求它们的差集;(2)差集A－B与B－A就是否一定相等？说明理由;(3)已知A＝{x|x>4},B＝{x|－6<x<6},求A－(A－B)与B－(B－A).知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1.定义域________.2.________完全一致.知识点三区间的概念及表示1.一般区间的表示设a,b∈R,且a<b,规定如下:2、特殊区间的表示知识点四 函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法. 知识点五 分段函数如果函数y ＝f (x ),x ∈A ,根据自变量x 在A 中不同的取值范围,有着不同的________,那么称这样的函数为分段函数.分段函数就是一个函数,分段函数的定义域就是各段定义域的________,值域就是各段值域的________. 知识点六 映射的概念设A ,B 就是两个________________,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的________________,在集合B 中都有________确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. 知识点七 函数的单调性1.增函数、减函数:设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上就是增函数;当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上就是减函数.2.函数的单调性:若函数f (x )在区间D 上就是增(减)函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.3.单调性的常见结论:若函数f (x ),g (x )均为增(减)函数,则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数;若函数f (x )为增(减)函数,则－f (x )为减(增)函数;若函数f (x )为增(减)函数,且f (x )>0,则1f (x )为减(增)函数. 知识点八 函数的最大值、最小值性质:知识点九 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念2、性质(1)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.(2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反.(3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之与为奇函数;两个偶函数的与、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数.例1(2016年10月学考)函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为()A.{x|x>－3}B.{x|x>0}C.{x|x>3}D.{x|x≥3}例2(2016年4月学考)下列图象中,不可能成为函数y＝f(x)图象的就是()例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x x >1－x 2－2x ＋4x ≤1则f (f (3))＝________,f (x )的单调递减区间就是________.例4 (2015年10月学考)已知函数f (x )＝x ＋a ＋|x －a |2,g (x )＝ax ＋1,其中a >0,若f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点,则a 的取值范围就是________.例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x(x <0)(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意的x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2),求a 的取值范围.例6 (2016年4月学考改编)已知函数f (x )＝1x －1－1x －3、(1)设g (x )＝f (x ＋2),判断函数g (x )的奇偶性,并说明理由; (2)求证:函数f (x )在2,3)上就是增函数.例7 (2015年10月学考)已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋1＋1x －1,a ∈R 、(1)判断函数f (x )的奇偶性,并说明理由; (2)当a <2时,证明:函数f (x )在(0,1)上单调递减.例8 (2016年10月学考)设函数f (x )＝1(|x －1|－a )2的定义域为D ,其中a <1、(1)当a ＝－3时,写出函数f (x )的单调区间(不要求证明);(2)若对于任意的x ∈0,2]∩D ,均有f (x )≥kx 2成立,求实数k 的取值范围.一、选择题1.函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A.(－3,0]B.(－3,1]C.(－∞,－3)∪(－3,0]D.(－∞,－3)∪(－3,1]2.下列四组函数中,表示同一个函数的就是()A.y＝－2x3与y＝x－2xB.y＝(x)2与y＝|x|C.y＝x＋1·x－1与y＝(x＋1)(x－1)D.f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－13.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2},值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数y＝f(x)的图象可能就是()4.已知f (x )就是一次函数,且ff (x )]＝x ＋2,则f (x )等于( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －15.设集合A ＝{x |0≤x ≤6},B ＝{y |0≤y ≤2},从A 到B 的对应法则f 不就是映射的就是( ) A.f :x →y ＝12xB.f :x →y ＝13xC.f :x →y ＝14xD.f :x →y ＝16x6.已知f (x )就是奇函数,g (x )就是偶函数,且f (－1)＋g (1)＝2,f (1)＋g (－1)＝4,则g (1)等于( ) A.4B.3C.2D.17.若函数y ＝ax ＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a 的值为( ) A.2B.－2C.2或－2D.08.偶函数f (x )(x ∈R )满足:f (4)＝f (1)＝0,且在区间0,3]与3,＋∞)上分别递减与递增,则不等式x ·f (x )<0的解集为( )A.(－∞,－4)∪(4,＋∞)B.(－∞,－4)∪(－1,0)C.(－4,－1)∪(1,4)D.(－∞,－4)∪(－1,0)∪(1,4) 二、填空题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12x x ≥01x x <0若f (a )＝a ,则实数a ＝________、10.设f (x )＝ax 2＋bx ＋2就是定义在1＋a,1]上的偶函数,则f (x )>0的解集为________. 11.若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在1,3]上恒成立,则实数a 的取值范围为________. 三、解答题12.已知函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b 的图象经过点(1,3),并且g (x )＝xf (x )就是偶函数.(1)求函数中a 、b 的值;(2)判断函数g (x )在区间(1,＋∞)上的单调性,并用单调性定义证明.13.已知二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 在区间2,3]上有最大值5,最小值2、 (1)求f (x )的解析式;(2)若b >1,g (x )＝f (x )＋mx 在2,4]上为单调函数,求实数m 的取值范围.答案精析知识条目排查 知识点一1.确定的不同的 全体2.每个对象 知识点二 1.属于 ∈ 2.不属于 ∉ 知识点三1.确定性 互异性 无序性2.(1)有限个 (2)无限个3.正整数集 有理数集 知识点四 1.一一列举出来 2.共同特征 知识点五1.任意一个 A ⊆B B ⊇A x ∈B x ∉A AB BA2.(1)任何集合 ∅⊆A (2)A ⊆A (3)A ⊆C (4)AC3.集合B 就是集合A 的子集(B ⊆A )4.如果A ＝B, 则A ⊆B ,且B ⊆A知识点六1.属于集合A且属于集合B的所有元素{x|x∈A,且x∈B}2.所有属于集合A或属于集合B的元素{x|x∈A,或x∈B}3.B∩A B∪A A A∅A A B4.所有元素U5.不属于集合A∁U A{x|x∈U,且x∉A}题型分类示例例1 D例2A∵A＝B,∴2∈B,则a＝2、]例3{4}解析∵全集U＝{2,3,4},集合A＝{2,3},∴∁U A＝{4}.例4A∵A∩B＝A,∴A⊆B、∵A＝{1,2},B＝{1,m,3},∴m＝2,故选A、]例5B由B中不等式变形得(x－2)(x＋4)>0,解得x<－4或x>2,即B＝(－∞,－4)∪(2,＋∞).∵A＝－2,3],∴A∪B＝(－∞,－4)∪－2,＋∞).故选B、]例6C图中的阴影部分就是M∩P的子集,不属于集合S,属于集合S的补集,即就是∁I S的子集,则阴影部分所表示的集合就是(M∩P)∩∁I S,故选C、] 例7A A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|0≤x≤4},B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2},∴A∩B＝{x|2<x≤4}＝(2,4].]考点专项训练1.B∵集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}.∴集合A∩Z中元素的个数就是5,故选B、]2.C由x2－5x＋6≥0,解得x≥3或x≤2、又集合A ＝{x |－1≤x ≤1},∴A ⊆B , 故选C 、] 3.D 4、C5.A ∁U B ＝{2,4,5,7},A ∩(∁U B )＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5},故选A 、]6.A 因为全集U ＝{－1,1,3}, 集合A ＝{a ＋2,a 2＋2},且∁U A ＝{－1}, 所以1,3就是集合A 中的元素,所以⎩⎨⎧a ＋2＝1a 2＋2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3a 2＋2＝1由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1a 2＋2＝3得a ＝－1、由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3a 2＋2＝1得a 无解,所以a ＝－1,故选A 、]7.D A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}, ∵B ⊆A ,∴B ＝∅或{3}或{5}, 若B ＝∅时,a ＝0; 若B ＝{3},则a ＝13;若B ＝{5},则a ＝15、故a ＝13或15或0,故选D 、]8.D ∵集合A ＝{x |x 2≥16}＝{x |x ≤－4或x ≥4}, B ＝{m },且A ∪B ＝A ,∴B ⊆A , ∴m ≤－4或m ≥4, ∴实数m 的取值范围就是 (－∞,－4]∪4,＋∞),故选D 、] 9.{1,2} 10.0 1解析 A ＝{1,a },∵x (x －a )(x －b )＝0, 解得x ＝0或a 或b , 若A ＝B ,则a ＝0,b ＝1、 11.4解析 全集U ＝{x ∈Z |－2≤x ≤4}＝{－2,－1,0,1,2,3,4},A ＝{－1,0,1,2,3},∁U A ＝{－2,4}, ∵B ⊆∁U A ,则集合B ＝∅,{－2},{4},{－2,4}, 因此满足条件的集合B 的个数就是4、 12.1,＋∞)解析 由x 2－x <0,解得0<x <1, ∴A ＝(0,1).∵B ＝(0,a )(a >0),A ⊆B , ∴a ≥1、 13.3,＋∞)解析 由|x －2|<a ,可得2－a <x <2＋a (a >0), ∴A ＝(2－a,2＋a )(a >0). 由x 2－2x －3<0,解得－1<x <3、 B ＝(－1,3).∵B ⊆A ,则⎩⎨⎧2－a ≤－12＋a ≥3解得a ≥3、答案精析知识条目排查 知识点一非空数集 唯一确定 从集合A 到集合B {f (x )|x ∈A } 知识点二 1.相同 2.对应关系 知识点三1.a ,b ] (a ,b ) a ,b ) (a ,b ] 知识点五对应关系 并集 并集 知识点六非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 题型分类示例 例1 C例2 A 当x ＝0时,有两个y 值对应,故A 不可能就是函数y ＝f (x )的图象.] 例3 5 －1,＋∞) 解析 f (3)＝log 133＝－1,∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋4＝5, 当x ≤1时,f (x )＝－x 2－2x ＋4 ＝－(x ＋1)2＋5, 对称轴x ＝－1,f (x )在－1,1]上递减,当x >1时,f (x )递减, ∴f (x )在－1,＋∞)上递减. 例4 (0,1)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx >aax ≤a在平面直角坐标系内分别画出0<a <1,a ＝1,a >1时,函数f (x ),g (x )的图象,由图易得当f (x ),g (x )的图象有两个交点时,有⎩⎨⎧0<a <1g (a )>a 解得0<a <1, a 的取值范围为0<a <1、例5 解 由题意知,f (x )为减函数,∴0<a <1且a －3<0且a 0≥(a －3)×0＋4a ,∴0<a ≤14、例6 (1)解 ∵f (x )＝1x －1－1x －3,∴g (x )＝f (x ＋2)＝1x ＋1－1x －1,∵g (－x )＝1－x ＋1－1－x －1＝1x ＋1－1x －1＝g (x ),又∵g (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1},∴y ＝g (x )就是偶函数.(2)证明 设x 1,x 2∈2,3)且x 1<x 2,f (x 1)－f (x 2)＝(1x 1－1－1x 1－3)－(1x 2－1－1x 2－3)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3),∵x 1,x 2∈2,3)且x 1<x 2,∴x 1－x 2<0,x 1＋x 2－4>0,(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)>0,综上得f (x 1)－f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),∴函数f (x )在2,3)上就是增函数.例7 (1)解 因为f (－x )＝－ax ＋1－x ＋1＋1－x －1 ＝－(ax ＋1x －1＋1x ＋1) ＝－f (x ),又因为f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠－1且x ≠1},所以函数f (x )为奇函数.(2)证明 任取x 1,x 2∈(0,1),设x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)＋x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)＋x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(x 1－x 2)a －1(x 1－1)(x 2－1)－1(x 1＋1)(x 2＋1)] ＝(x 1－x 2)a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)]. 因为0<x 1<x 2<1,所以2(x 1x 2＋1)>2,0<(x 21－1)(x 22－1)<1,所以2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)>2>a , 所以a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)<0、 又因为x 1－x 2<0,所以f (x 1)>f (x 2),所以函数f (x )在(0,1)上单调递减.例8 解 (1)单调递增区间就是(－∞,1],单调递减区间就是1,＋∞).(2)当x ＝0时,不等式f (x )≥kx 2成立;当x ≠0时,f (x )≥kx 2等价于k ≤1[x (|x －1|－a )]2、 设h (x )＝x (|x －1|－a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x [x －(1－a )]0＜x ≤1x [x －(1＋a )]1＜x ≤2、①当a ≤－1时,h (x )在(0,2]上单调递增,所以0<h (x )≤h (2),即0<h (x )≤2(1－a ).故k ≤14(1－a )2、②当－1<a <0时,h (x )在(0,1－a 2]上单调递增,在1－a 2,1]上单调递减,在1,2]上单调递增, 因为h (2)＝2－2a ≥(1－a )24＝h (1－a 2). 即0<h (x )≤2(1－a ).故k ≤14(1－a )2、 ③当0≤a ＜1时,h (x )在(0,1－a 2]上单调递增, 在1－a 2,1－a )上单调递减,在(1－a,1]上单调递减, 在1,1＋a )上单调递增,在(1＋a,2]上单调递增,所以h (1)≤h (x )≤max{h (2),h (1－a 2)}且h (x )≠0、 因为h (2)＝2－2a >(1－a )24＝h (1－a 2), 所以－a ≤h (x )≤2－2a 且h (x )≠0、当0≤a ＜23时,因为|2－2a |＞|－a |, 所以k ≤14(1－a )2; 当23≤a ＜1时,因为|2－2a |≤|－a |, 所以k ≤1a 2, 综上所述,当a <23时,k ≤14(1－a )2; 当23≤a <1时,k ≤1a 2、 考点专项训练1.A 要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0x ＋3>0即⎩⎨⎧x ≤0x >－3、 故－3<x ≤0、即函数的定义域为(－3,0],故选A 、]2.D 在A 选项中,前者的y 属于非负数,后者的y ≤0,两个函数的值域不同; 在B 选项中,前者的定义域x ≥0,后者的x ∈R ,定义域不同;在C 选项中,前者定义域为x >1,后者为x >1或x <－1,定义域不同;在D 选项中,两个函数就是同一个函数,故选D 、]3.B4.A f (x )就是一次函数,设f (x )＝kx ＋b ,ff (x )]＝x ＋2,可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2,即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2,k 2＝1,kb ＋b ＝2,解得k ＝1,b ＝1、则f (x )＝x ＋1,故选A 、]5.A 6、B 7、C8.D 求x ·f (x )<0即等价于求函数在第二、四象限图象x 的取值范围.∵偶函数f (x )(x ∈R )满足f (4)＝f (1)＝0,∴f (4)＝f (－1)＝f (－4)＝f (1)＝0,且f (x )在区间0,3]与3,＋∞)上分别递减与递增,如图可知:即x ∈(1,4)时,函数图象位于第四象限,x ∈(－∞,－4)∪(－1,0)时,函数图象位于第二象限,综上所述,x ·f (x )<0的解集为(－∞,－4)∪(－1,0)∪(1,4),故选D 、]9.－1或23解析 当a ≥0时,f (a )＝1－12a ＝a , 得a ＝23; 当a <0时,1a＝a ,解得a ＝－1或1(舍去).∴a ＝－1或23、 10.(－1,1)解析 ∵f (x )为定义在1＋a,1]上的偶函数,∴1＋a ＝－1,∴a ＝－2,又f (－x )＝f (x ),即ax 2－bx ＋2＝ax 2＋bx ＋2,∴2bx ＝0,∴b ＝0,∴f (x )＝－2x 2＋2、∴由f (x )>0得,－2x 2＋2>0,解得－1<x <1,∴f (x )>0的解集为(－1,1).11.(－∞,－4]解析 若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在1,3]上恒成立, 则a ≤x 2－4x 在1,3]上恒成立,令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4,x ∈1,3],对称轴x ＝2,开口向上,f (x )在1,2)递减,在(2,3]递增,∴f (x )min ＝f (2)＝－4,∴a ≤－4、12.解 (1)∵函数g (x )＝xf (x )＝x ＋ax 3x ＋b就是偶函数, 则g (－x )＝g (x ).∴－x －ax 3－x ＋b ＝x ＋ax 3x ＋b恒成立, 即x －b ＝x ＋b 恒成立,∴b ＝0、又函数f (x )的图象经过点(1,3),∴f (1)＝3,即1＋a ＝3,∴a ＝2、(2)由(1)知g (x )＝xf (x )＝2x 2＋1,g (x )在(1,＋∞)上单调递增,设x 2>x 1>1,则g (x 2)－g (x 1)＝2x 22＋1－2x 21－1＝2(x 2－x 1)(x 2＋x 1).∵x 2>x 1>1,∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)>0,∴g (x 2)>g (x 1),∴函数g (x )在区间(1,＋∞)上就是增函数.13.解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a 、①当a >0时,f (x )在2,3]上单调递增,故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2f (3)＝5即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝23a ＋2＋b ＝5所以⎩⎨⎧ a ＝1b ＝0、②当a <0时,f (x )在2,3]上单调递减,故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝5f (3)＝2即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝53a ＋2＋b ＝2所以⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝3、所以f (x )＝x 2－2x ＋2或f (x )＝－x 2＋2x ＋5、(2)因为b >1,所以f (x )＝－x 2＋2x ＋5,所以g (x )＝－x 2＋(m ＋2)x ＋5在2,4]上为单调函数, 故m ＋22≤2或m ＋22≥4,所以m ≤2或m ≥6、。