1 1 k 6 , f (k ) 5 其他 0,
又 x 2 kx 1 0 有实根，等价于 k 2 4 0 ，得 k 2 或 k 2 ，故方程有实 根的概率为：
p
2

f (k )dk

2
61 4 f (k )dk 0 dk ． 25 5
又
X ~ N (170,62 ) ，
所以
X 170 x 170 P( X x) P 0.01 ． 6 6 x 170 0.99 ， 6
即
x 170 2.31 ． 6
所以 x 183.86 ．故选择的车门高度应为 183.86 cm ，为便于制造可取为 1.84m ． 习题 2.5 1. 设离散型随机变量 X 的分布律为
习题 2.3 1. 设 X 的分布函数为
A(1 e x ), F ( x) 0,
求常数 A 及 P 1 X 3 ．
x 0, x 0.
解：由 lim F ( x) 1 ，而 lim A(1 e x ) A ，因此 A 1 ．
x
x
2 PX k C ， 3
k
k 1,2,,
求 C 的值． 解：由分布律的性质，有
2 1 P( X k ) C 2C ， k 1 k 1 3 k
可求得 C 5.
1 ． 2
一幢大楼装有 5 个不同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设
P( X 8)
i 0
8
i
i!
e


i 0
7
i
i!
e 0.97864 0.94887 0.02977 ． 4i 4 e 1 0.97864 0.02136 ． i 0 i!
8
(2) P( X 8) 1 P( X 8) 1
P( X 2) F (2) ln 2 ．
P(0 X 3) P( X 3) P( X 0) F (3) F (0) 1 0 1 ．
5 5 5 5 P(2 X ) P(2 X ) F ( ) F (2) ln ． 2 2 2 4
0 0 x x
从而
1 e 3 x , x 0 F ( x) x0 0,
3. 设随机变量 X 的分布函数为
0, F ( x) ln x, 1,
x 1, 1 x e, x e.
（1） 求 PX 2 ， （2） 求 X 的概率密度 f ( x) ． P0 X 3， P2 X 5 2； 解：(1)
3 解：基本事件总数为 C5 10 ．设
Ai "最大号码为i" ， i 3,4,5 ，于是
2 C32 C4 1 ， ， P( A3 ) 3 0.1 P( A4 ) 3 0.3 P( A5 ) 3 0.6 C5 C5 C5
而
P( X k ) P( Ak ) ， k 3,4,5 ，
X
2 1
0
1
2
P
0 .1 .2
0 .3
0 .3
0 .1
0
求（1） Y 3 X 1的分布律； （2） Z 2 X 2 的分布律． 解： （1）因为Ｙ的可能取值为-5,-2,1,4,7，而且
P(Y 5) P( X 2) 0.1 ， P(Y 2) P( X 1) 0.2 P(Y 1) P( X 0) 0.3 ， P(Y 4) P( X 1) 0.3 P(Y 7) P( X 2) 0.1 ，
5. 某类日光灯管的使用寿命 X (单位:小时)服从参数为 20001 的指数分 布.任取一只这种灯管, 求能正常使用 1000 小时以上的概率． 解： P( X 1000) 6.
1 2000 e dx e 0.5 0.607 ． 1000 2000
x
设 X ~ N (3, 22 ) ， （1）求 P{2 X 5}, P{4 X 10}, P{| X | 2}, P{X 3} ； （2）试确定 c 使得 P{X c} P{X c} ； （3）设 d 满足 P{X d} 0.9 ，问 d 至多为多少？
7 2( ) 1 0.9996 2
P( X 2) P( X 2) P( X 2) 1 P( X 2) P( X 2)
X 3 2 3 X 3 2 3 1 P P 2 2 2 2
2 P( X 2) C5 (0.1)2 (0.9)3 0.0729
P( X 3) C5k (0.1)k (0.9)5 k 0.00856
k 3 3
5
(3) (4)
P( X 3) C5k (0.1)k (0.9)5 k 0.99954
k 0
0 P( X 1) 1 C5 (0.1)k (0.9)5 1 (0.9)5 0.40951
备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻： (1) 恰有 2 个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ 解：设被使用的设备数为Ｘ，则Ｘ的可能值为０，１，２，…５，则 (1) (2)
解：
由题意
f ( x)
1 2 2
e
( x 3) 2 8
1 2 3 x 3 5 3 （1） P(2 X 5) P (1) ( ) 2 2 2 2
0.8413 1 0.6915 0.5328
7 7 4 3 x 3 10 3 P(4 X 10) P ( ) ( ) 2 2 2 2 2
(2)
P( X 1) 1 P( X 1) 1
7. 已知一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布．求： (1) 每分钟恰有 8 次呼唤的概率； (2) 每分钟呼唤次数大于 8 的概率． 解：(1) P( X 8)
48 4 e ． 8!
可以直接计算这个数值，但比较繁．使用泊松分布表（附表１）可使计算简单多 了，查附表１，对于 4 ，
所以 X 的分布律如下表所示
X
P
3
0.1
4
0.3
5
0.6
3.
对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为 p ，求射
击次数的分布律． 解：直到第一次击中目标为止的射击次数的 X 分布律为
P( X k ) q k 1 p ， k 1,2,
4.
设离散型随机变量 X 的分布律为
P(1 x 3) P( X 3) P( X 1) F (3) F (1)
(1 e3 ) (1 e1 ) e1 e3 ．
2. 一口袋中有 6 个球，球上分别标有 3, 3,1,1,1, 2 这样的数字．从中任取一 球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字 X 的分布律与分 布函数．
1 5 1 ( ) ( ) 0.6977 2 2
X 3 3 3 P( X 3) 1 P( X 3) 1 P 1 (0) 1 0.5 0.5 2 2
（2）由 P{X c} P{X c} 则
从而

d 3 1.282 ，因此 d 0.436 ． 2
7. 公共汽车的高度是按男子与车门顶碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设 男子身高 X （单位:cm）服从正态分布 N (170,6 2 ) ，试确定车门的高度． 解：设男子身高 X ，选择的车门高度 x 应满足
P( X x) 0.01
1 P( X c) P( X c)
X 3 c 3 1 P( X c) P 2 2 2 c 3 1 2 2
查表得
c3 0 ，故 c 3 ． 2
d 3 0.9 ，故 2 d 3 0.9 (1.282) 2
6. 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0.3 的泊松分布，试问 (1) 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率是多少? (2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率是多少?
解：(1)
P( X 2)
(0.3) 2 e0.3 0.0334 2! (0.3)e0.3 0.259 1!
(2) 由 f ( x) F ( x) ，有
1 , f ( x) x 0,
1 x e, 其它
．
4. 若随机变量 K 在 (1, 6) 上服从均匀分布，求方程 x 2 Kx 1 0 有实根的概 率是多少？ 解：由Ｋ在 (1, 6) 上服从均匀分布，则Ｋ的概率概率密度为：
1
K 3．


f ( x)dx Ke3 x dx
0

K 3
(2) P( X 0.1) 1 P( X 0.1) 1 3 e3 x dx 0.7408
0
0.1
(3) F ( x)
x

f (t )dt
当 x 0 时， F ( x) 0 ， 当 x 0 时， F ( x) f (t )dt 3 e3t dt 1 e3 x ，
习题 2.1－2.2 1. 下列表中所列出的是否是某个随机变量的分布律？ (1)
X
P
0
0.2
1
0.3
2