随机变量及其分布期末练习题及答案1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求ξ的分布。
[解] {}发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ),1,(,)1()1(11111Λ+=-=⋅-=-------r r k p p Cp p pC rk r r k r k r r k小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。
为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
2．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F 求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率；（3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A （2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ；98311)31()2())2,31((2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-∈F F X P ；（3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取⎩⎨⎧≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或则0)(≥x f ，且对一切x 有⎰∞-=xdt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。
3．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P [解] 因为 )0(2)42(3.0Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=<<=σX P所以 8.05.03.02=+=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ 于是 2.0212202)0(=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-<-=<σσσσX P X P4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）)5,55(~21N X ，一般品种蛋重)5,45(~22N X 。
（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。
[解] （1）设A ：任取一蛋其重量大于50克。
1B ：任取一蛋为优良品种 2B ：任取一蛋为一般品种则21,B B 互斥，且S B B =21Y ，31)(,32)(21==B P B P 8413.0555501)50()(11=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>=X P B A P1587.0545501)50()(22=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=>=X P B A P由全概率公式得)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=6138.01587.0318413.032=⨯+⨯=（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率6138.0=p ，小于50克的概率6138.011-=-=p q设任取2个，有Y 个大于50克，则),2(~p B Y 于是所求概率为1492.0)6138.01()0(222=-===q p C Y P问题与思考1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗 2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗3．设X 为连续型随机变量，而)(x g 为连续函数，)(X g Y =还是连续型随机变量吗 4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗 5．连续型随机变量的密度函数连续吗练习与答案1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。
现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。
2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为)10(<<p p ，出现反面的概率为p q -=1，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。
3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为，求至少有两次命中的概率。
4．已知某元件使用寿命T 服从参数100001=λ的指数分布（单位：小时）。
（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X 的分布律5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间)8,40(~2N X ；若采用乙工艺条件，则完成时间)4,50(~2N X 。
（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件6．设某批零件的长度服从),(~2σμN X ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于μ的概率。
7．设X 分别为服从⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππU ，[]π,0U ，[]π2,0U 的随机变量，求X Y sin =的概率密度函数8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。
，超过7的水要溢出，求水库存水量Y 的分布函数 参考答案：1．分布列 X 0 1 2 3Y 75.0 204.0 041.0 05.02．)4,3,2(11Λ=+--n qp pqn n3．956.0)1()0(1)2(==-=-=≥X P X P X P 4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,)1()(10212110Λ=-==---k e eC k X P kk5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6．3125.02121)2(3225=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P7．（1）1,11)(21<-=x xx f π；（2）10,12)(22<<-=x xx f π；（3）1,11)(23<-=x xx f π；8．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.7,1;74,44;4,0)(y y y y y F y⒈连续型随机变量X 的密度函数是f x ()， 则P a X b ()<<= 。
答案：f x xab ()d ⎰，⒉设X 为随机变量，已知D x ()=2，那么D X ()35-= 。
答案： 183、设随机变量X ~ 012060301⎛⎝ ⎫⎭⎪，则E X ()=（ ）。
A. 1；B. 13； C. 0 D. 05. 答案： D4、设随机变量X N ~(,)522，求()8X P <<3。
解 ΘX N ~(,)522∴-X N 5201~(,))25825253()83(-<-<-=<<X P X P ＝)1()5.1(-Φ-Φ（查表）7745.08413.019322.0=+-=5. 设随机变量X 的密度函数是⎩⎨⎧<<-=03)2(3)(2x a x x f求 (1) 常数a ; (2)P (X <解 (1) 根据密度函数的性质1＝⎰⎰-=+∞∞-32d )2(3d )(axx x x f =1－(a －2)3所以a =2 ⎩⎨⎧<<-=∴032)2(3)(2x x x f(2)P (X <=⎰-5.222d )2(3x x=125.05.0)2(35.223==-x6．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,0)(2x x Ax x x F 求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率； （3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ；98311)31()2())2,31((2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取⎩⎨⎧≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或7．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P[解] 因为)0(2)24222()42(3.0Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=---=<<=σσσσππx P X P所以 8.05.03.02=+=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ于是2.0212202)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=<σσσσX P X P8．设随机变量X 的密度函数为f x x x ()()=-≤≤⎧⎨⎩311202其它，求：⑴ P X (..)1525<<； ⑵ E X ().解 ⑴ P X (..)1525<<=⎰5.21.5d )(xx f =⎰-21.52d )1(3xx=25.13)1(-x =⑵ E X ()=⎰+∞∞-d )(xx xf =⎰-212d )1(3xx x=21234)23243(x x x +-=74 9．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布.．解 )2(=X P =101251111=C C C ，)3(=X P =102251211=C C C ， )4(=X P =103251311=C C C ，)5(=X P =104251411=C C C ，所以X 的概率分布为：二）、例题分析1、 （1）“C B A ,,三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为 。
答案：AC BC AB ++。
（2）事件B A ,满足,8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则________)(=+B A P 。
答案：分析 根据概率的加法公式与乘法公式，我们有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+)()()()(A B P A P B P A P -+==7.08.05.06.05.0=⨯-+（3）对于任意事件C B A ,,，则________)(=++C B A P 。
答案：)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 分析))(()(C B A P C B A P ++=++])[()()(C B A P C P B A P +-++=)()()()()(BC AC P C P AB P B P A P +-+-+==)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 2 、事件B A ,若满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（ ） （A ）不相互独立； （B ）互不相容； （C ）相互独立； （D ）不互斥 答案：D分析 由加法公式，有1)()()()(≤-+=+AB P B P A P B A P而且1)()(>+B P A P 时，只有0)(≠AB P 时，才能保证上式成立，即≠AB φ， 故选择D 正确。