次函数与幕函数1. 求二次函数的解析式.2. 求二次函数的值域与最值.3. 利用幕函数的图象和性质分析解决有关问题.【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幕函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用.基础梳理1. 二次函数的基本知识(1)函数f (x) = ax2+ bx+ c(a^0)叫做二次函数，它的定义域是R⑵二次函数f (x) = ax2+ bx+ c(a^0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x = ―，顶点坐标是.①当a>0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x=—时，f ( x) min ―；②当a v0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x——时，1 \入) max—.③二次函数f (x) —ax2+ bx+ c(a M0)当△—b2—4ac>0时，图象与x轴有两个交点M(x i,0)、Mg。

)，|MM|—“ —X2|—.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f (x) —ax2+ bx+ c(a^0)；②顶点式：f (x) —a(x —m)2+ h(a^0)；③两根式：f (x) —a(x —x i)( x —X2)( a M0).2. 幕函数(1)幕函数的定义形如y —x a( a € R)的函数称为幕函数，其中x是自变量，a为常数.⑵幕函数的图象(3)幕函数的性质第一象限一定有图像且过点(1,1);第四象限一定无图像；当幕函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。

一条主线二次函数、.一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它...们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三..一…… 个二次”有关的问题，髙考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之..一…… 中，.并且大都出现在解答题中一.……两种方法二次函数』三f.(x)对称称轴的判断方法;..…⑴.对于二次函数一y = f.(.x).对定义域内..X i，.x.2,都有.f(.x.i)三f(X2)，那么函数..y 三 f ( X)图象的对称轴方程为…X.三;…⑵.对于二次函数一.y.. f.(.x).对定义域内.所有.. x，都有..f.( a 土x).. f( a- x)成立，那.么函数y.f.CX)图象的对称轴方程为….X.a( a.为常数丄.…两种冋题…与二次函数有关的不等式恒成立问题:一……(1) ax2+ bx土c>0,...a于.0恒成立的充要条件是.一(2) ax2+ bx土c< 0,…©于.0恒成立的充要条件是..双基自测1. 下列函数中是幕函数的是().2A. y = 2xB. y =C. y = x + xD. y=—2. (2011 •九江模拟)已知函数f (x) = 4x2—mx+ 5在区间［—2,+^)上是增函数，则f⑴的范围是().A. f(1) >25B. f(1) = 25C. f(1) <25D. f(1) >253. (2011 •福建)若关于x的方程x2+ m>+ 1 = 0,有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是().A. ( —1,1)B . ( —2,2)C. ( —X,—2) U (2 , +^)D. ( —x,—1) U (1 ,+x)4. (2011 •陕西)函数的图象是().5 .二次函数y= f (x)满足f(3 + x) = f (3 —x)(x€ R)且f (x) = 0 有两个实根X1, X2，贝U X1+ X2 = _______ .考向一求二次函数的解析式2【例1】？已知函数f (x) = x + m>+ n的图象过点(1,3)，且f ( — 1 + x) = f ( — 1 —x)对任意实数都成立，函数y = g(x)与y = f (x)的图象关于原点对称.求f(x)与g(x)的解析式.【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2) =—1, f( —1) = —1,且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式.考向二幕函数的图象和性质【例2】？幕函数y = xm l —2m- 3(m€ Z)的图象关于y轴对称，且当x>0时，函C. 1D. 2数是减函数，则m的值为().A.—1 < 3B. 0C. 1D. 2【训练2】已知点(，2)在幕函数y = f(x )的图象上，点在幕函数y = g(x )的图象 上，若 f (x) = g(x)，贝U x = _______ .考向三二次函数的图象与性质【例3】？已知函数f (x) = x 2— 2ax + 1,求f(x)在区间［0,2］上的最值.【训练 3】已知 f (x) = 1 — (x — a)( x — b)( av b)，m n 是 f (x)的零点，且 n ， 则a ，b ，m, n 从小到大的顺序是 _________ .双基自测1. (人教A 版教材习题改编)下列函数中是幕函数的是().2A. y = 2xB. y = 2C. y = x + xD. y =—解析 A ，C, D 均不符合幕函数的定义. 答案 B2. (2011 •九江模拟)已知函数f (x) = 4x 2— mx + 5在区间［—2，+^)上是增函 数，则f(1)的范围是( ).A. f (1) > 25 C. f (1) < 25解析对称轴x = < — 2，二me — 16， ••• f (1) = 9— m> 25. 答案 A3. (2011 •福建)若关于x 的方程x 2 + m>+ 数m 的取值范围是( ).A. ( — 1,1)B . ( — 2,2)C. ( —X ，— 2) U (2，+^)D . ( —x ，— 1) U (1 ,+x) 解析 依题意判别式△=卅―4> 0，解得m> 2或m v — 2. 答案 C 4. (2011 •陕西)函数的图象是().解析 由幕函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A ，D;②当指数0v a V 1时为增速较缓的增函数，故可排除 C. 答案 BB. f(1) = 25 D. f(1) >251二0,有两个不相等的实数根，则实5. __________________ 二次函数y=f(x)满足f(3 + X) =f(3 —X)(x€ R)且f(x) = 0 有两个实根X i, X2，贝U X i+ X2 = .解析由f(3 + X) = f (3 —X)，知函数y = f (X)的图象关于直线X = 3对称，应有=3?X i + X2= 6.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f (X) = X2+ m>+ n的图象过点(1,3)，且f ( — 1 + X) = f ( — 1 —x) 对任意实数都成立，函数y = g(x)与y = f (x)的图象关于原点对称.求f (x)与g(x)的解析式.［审题视点］采用待定系数法求f (x)，再由f (x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x).解依题意得解得：••• f (x) = x2+ 2x.设函数y= f (x)图象上的任意一点A(x o，y o)，该点关于原点的对称点为B(x，y) ，则X o = —x，y o= —y.•••点A(x o，y o)在函数y= f (x)的图象上，2 2• y°=x + 2x o，• —y = x —2x，• y= —x + 2x，即g(x) = —X2+ 2x.丄丄卫二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解.在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起.【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)二一1, f( —1)二一1,且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式.解法一利用二次函数的一般式.设 f (x) = ax + bx+ c(a M0).由题意得解之得•所求二次函数的解析式为y = —4x2+ 4x + 7.法二利用二次函数的顶点式.设 f (x) = a(x —m)2+ n(a^0)，••• f(2)二f( —1).•••此二次函数的对称轴为X .二mn=，又根据题意，函数有最大值 8,即n = 8.2• y = f (x) = a + 8,f (2) = — 1 ,• a + 8 — — 1, 解之得a —- 4.• f (x) — - 42 + 8—- 4x 2 + 4x + 7.考向二幕函数的图象和性质【例2】？幕函数y — xX — 2m - 3(m € Z)的图象关于y 轴对称，且当x >0时，函数是减函数，则m 的值为( ).A. — 1 v im^ 3 C. 1［审题视点］由幕函数的性质可得到幕指数 幕函数是偶函数可得m 的值.解析由 m l — 2m — 3v 0,得一1 v m v 3, 又 mi € Z,.°. m — 0,1,2. •••吊―2m — 3为偶数， 经验证m — 1符合题意. 答案 C丄丄卫根据幕函数的单调性先确定指数的取值范围，当 a >0时，幕函数在 (0,+x )上为增函数，当a V 0时，幕函数在(0,+x )上为减函数，然后验 证函数的奇偶性. 【训练2］已知点(，2)在幕函数y — f (x)的图象上，点在幕函数y — g(x)的图象 上，若 f(x) — g(x)，贝U x — _______ .解析 由题意，设 y — f (x) — x",，则 2—()",得 a — 2,设 y — g(x) — x"，则 —(—)"，得 B — — 2,由 f (x) — g(x)，即 x —x ：解得 x —± 1. 答案 ±1考向三二次函数的图象与性质【例3］ ?已知函数f (x) — x 2- 2ax + 1,求f (x)在区间［0,2］上的最值. ［审题视点］先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论.2 2 2解 函数f (x) — x -2ax + 1 — (x — a) + 1 -a 的对称轴是直线x — a ,B. 0 D. 2m 2-2m — 3v 0,再结合m 是整数，及(1)若a v0, f(x)在区间［0,2］上单调递增，当X = 0 时，f ( X)min= f (0) = 1 ；当x = 2 时，f (x) max= f (2) = 5 —4a ；⑵若0W a v 1,贝u当x = a 时，f (x)min= f (a) = 1 —a2；当x = 2 时，f (x) max= f (2) = 5 —4a；⑶若1< a v2,贝U当x = a 时，f (x) min= f (a) = 1 —a ;当x = 0 时，f ( x) max= f (0) = 1 ；(4)若a>2,则f(x)在区间［0,2］上单调递减，当x = 0 时，f (x) max= f (0) = 1 ；当x = 2 时，f(x)min= f (2) = 5 —4a.丄亠22解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y= a(x —m)2+ n(a^ 0)的形式，得顶点(m n)或对称轴方程x = m,分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动.【训练3】已知 f (x) = 1 —(x —a)( x —b)( a v b)，m n 是 f (x)的零点，且n v n，则a，b，m, n从小到大的顺序是______ .解析由于f (x) = 1 —(x—a)( x—b)( a v b)的图象是开口向下的抛物线，因为f (a) = f (b) = 1 >0，f (m) = f (n) = 0，可得a€ (m, n)，b€ (m，n)，所以m v a v b v n.答案m v a v b v n考向四有关二次函数的综合问题【例4】？设函数f (x) = ax2—2x+ 2，对于满足1 v x v4的一切x值都有f (x) > 0,求实数a的取值范围.［审题视点］通过讨论开口方向和对称轴位置求解.解当a>0 时，f (x) = a+ 2—.•••或或•••或或••• a>1 或v a v 1 或？，艮卩a>；当a v0时，解得a€ ?；当 a = 0 时，f(x) = —2x + 2, f(1) = 0, f(4) = —6,•不合题意.综上可得，实数a的取值范围是a>.丄」_卫含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力.【训练4】已知二次函数f(x) = ax2+ bx+ 1(a>0)，F(x)=若f( —1) = 0,且对任意实数x均有f (x) >0成立.(1) 求F(x)的表达式；⑵当x € ［—2,2］时，g(x) = f(x) —kx是单调函数，求k的取值范围.解(1) f ( —1) —0，• a—b+ 1 = 0，.・.b = a+ 1，•f(x) = ax2+ (a+ 1)x + 1. v f (x) >0 恒成立，•a= 1，从而 b = 2，二f (x) = x + 2x+ 1，•. F( x)=(2) g(x) = x2+ 2x + 1 —kx = x2+ (2 —k)x + 1.V g(x)在［—2,2］上是单调函数，•w —2，或> 2，解得k w —2，或k>6.所以k的取值范围为k w —2，或k>6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解.【解决方案】对于二次函数f(x) = ax2+ bx+ c(a z0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论.【示例】?(本题满分12分)(2011 •济南模拟)已知f(x) = —4X2+ 4ax —4a—a2 在区间［0,1］内有最大值一5,求a的值及函数表达式f(x).兰空逵!卫求二次函数f (x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论. ［解答示范］:f(x)二—42—4a,•••抛物线顶点坐标为.(1分)①当》1,即a>2时，f(x)取最大值一4—a2.令一4 —a2二一5,得a2= 1, a=± 1v 2(舍去)；(4 分)②当0vv 1,即0v a v 2时，x=时，f (x)取最大值为—4a.令—4a= —5,得a=€ (0,2) ; (7 分)③当w 0, 即卩a<0时,f(x)在［0,1］内递减，•x= 0时，f (x)取最大值为—4a —a2,令—4a— a = —5,得 a + 4a—5—0,解得a—— 5 或a—1,其中一5€ ( —^, 0］. (10 分)综上所述，a —或a——5时，f(x)在［0,1］内有最大值—5.•f(x) ——4x2+ 5x —或f(x) ——4x2—20x— 5.(12 分)空疔茂亦建求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论.【试一试】设函数y —x2—2x, x € ［—2, a］，求函数的最小值g(a). ［尝试解答］•••函数y —x2—2x —(x —1)2—1,•对称轴为直线x—1,而x —1不一定在区间［—2, a］内，应进行讨论.当一2v a v 1时，函数在［—2, a］上单调递减，则当x —a时，y min —a2—2a；当a> 1时，函数在［—2,1］上单调递减，在［1 , a］上单调递增，则当x —1时，y min ——1.综上，g(a)—。