(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。
(4455)．过点)0,21(且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为21arcsin -=x x y 。
(4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 221xC C y +=。
(4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且C x y x y x y x y ≠--)()()()(1312，则该微分方程的通解为)())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。
(3081)．设xex y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为xe C x C x y -+++=2123。
(4725)．设出微分方程x e xex y y y x x2cos 32++=-'-''-的一个特解形式)2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。
(4476)．微分方程xe y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x++=。
(4474)．微分方程xey y 24=-''的通解为 x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-。
(4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。
(4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。
(6808)．设曲线积分⎰--Lxydy x f ydx ex f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A))(21x x e e --。
(B) )(21x x e e --。
(C) 1)(21-+-x x e e 。
(D) )(211x x e e -+-。
答B注：根据题意，y e x f y x f x cos ])([cos )(-='-，解得x xCe e x f -+=21)(。
由0)0(=f ，得21-=C ，所以)(21)(x x e e x f --=，即选项(B)正确。
6907．若函数x y 2cos =是微分方程0)(=+'y x p y 的一个特解，则该方程满足初始条件2)0(=y 的特解为[ ](A) 22cos +=x y 。
(B) 12cos +=x y 。
(C) x y cos 2=。
(D) x y 2cos 2=。
答D注：根据解的结构，通解为x C y 2cos =，由2)0(=y 得2=C 。
故选项(D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
6126．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为[ ](A)2211y C y C y +=。
(B) 21Cy y y +=。
(C) )(211y y C y y ++=。
(D) )(12y y C y -= 。
答D注：因为)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，所以12y y -是该方程的一个非零特解。
根据解的结构，其通解为)(12y y C y -=，即选项(D)正确。
另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。
当02≡y 时，选项(B)不对。
当12y y -=时，选项(C)不对。
6579．已知函数)(x y y =在任意点x 处的增量π=∆++∆=∆)0(),(12y x o xxy y ，则)1(y 等于[ ](A)π2。
(B)π。
(C)4πe 。
(D) 4ππe 。
答D注：根据微分定义及微分与导数的关系得21xy y +='，解得C x y +=arctan ln ，由π=)0(y ，得πln =C ，所以41arctan )1(πππe e y ==。
因此选项(D)正确。
6215．设函数)(x f y =是微分方程042=+'-''y y y 的一个解。
若0)(,0)(00='>x f x f ，则函数)(x f 在点0x [ ](A) 取到极大值。
(B) 取到极小值。
(C) 某个邻域内单调增加。
(D) 某个邻域内单调减少。
答A注：因为0)(0='x f ，0)(4)(00<-=''x f x f ，所以选项(A)正确。
6316. 设21,y y 是二阶常系数线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的两个特解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A ） 2211y C y C +一定是微分方程的通解。
（B ）2211y C y C +不可能是微分方程的通解。
（C ）2211y C y C +是微分方程的解。
（D ）2211y C y C +不是微分方程的解。
答C注：根据叠加原理，选项（C ）正确，选项（D ）错误。
当21,y y 线性相关时，选项（A ）错误, 当21,y y 线性无关时，选项（B ）错误。
1897. 微分方程1+=-''xe y y 的一个特解应具有形式[ ](A)b ae x +。
(B)b axe x+。
(C) bx ae x +。
(D) bx axe x+。
答B注：相应齐次方程的特征根为1,1-，所以x e y y =-''的一个特解形式为xaxe ，1=-''y y 的一个特解形式为b 。
根据叠加原理，原方程的一个特解形式为b axe x +，即选项(B)正确。
其他选项经检验不满足方程。
1890. 具有特解xx x e y xe y e y 3,2,321===--的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ](A)0=+'-''-'''y y y y 。
(B) 0=-'-''+'''y y y y 。
(C) 06116=-'+''-'''y y y y 。
(D) 022=+'-''-'''y y y y 。
答B注：根据题意，1,1-是特征方程的两个根，且1-是重根，所以特征方程为01)1)(1(232=--+=+-λλλλλ。
故所求微分方程为0=-'-''+'''y y y y ，即选项(B)正确。
7819. 设x y e y x==21,是三阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''+'''cy y b y a y 的两个特解，则c b a ,,的值为[ ](A)0,1,1=-==c b a 。
(B)0,1,1===c b a 。
(C)0,0,1==-=c b a 。
(D)0,0,1===c b a 。
答C注：根据题意，0,1是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为0)1(232=-=-λλλλ。
故原微分方程应为0=''-'''y y ，所以0,0,1==-=c b a 即选项(C)正确。
2670. 设二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''y y b y 的每一个解)(x y 都在区间),0(+∞上有界，则实数b 的取值范围是[ ](A)0≥b 。
(B)0≤b 。
(C)4≤b 。
(D)4≥b 。
答A注：因为当2±≠b 时，xb b xb b e C eC x y 24224122)(----+-+=，所以，当042>-b时，要想使)(x y 在区间),0(+∞上有界，只需要04,0422≥--≥-+b b b b ，即2>b 。
当042<-b 时，要想使)(x y 在区间),0(+∞上有界，只需要42-+b b 与42--b b 的实部大于等于零，即20<≤b 。
当2=b 时，x x xe C e C x y --+=21)(在区间),0(+∞上有界。
当2-=b 时，x x xe C e C x y 21)(+=)0(2221≠+C C 在区间),0(+∞上无界。
综上所述，当且仅当0≥b 时，方程0=+'+''y y b y 的每一个解)(x y 都在区间),0(+∞上有界，即选项(A)正确。
3296．求微分方程01122=+'++x y y y x 的通解。
解：方程两端同乘以dx yx1122++，得xdx xydy y11022+++=，此方程是一个变量分离方程，其通解为)2(1122>=+++C C x y 。
5678．求微分方程dy dx x y xx+=1sin 的通解。
解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程dy dx xy +=10， 得其通解为x C y lnln =，即xC y =。
令xx C y )(=，代入原方程，得 x xxx C x x C x C x sin )()()(22=+-'， 解得C x x C +-=cos )(。
所以原方程的通解为)cos (1C x xy +-=。
注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得y x x e dx c e xx c x dx x dx =⎰⎰+⎰=-+-(sin )(cos )111。
2312．求解微分方程xdyydx y e dy y -=2。
解：将y 看成自变量，x 看成是的y 函数，则原方程是关于未知函数x x y =()的一阶线性微分方程y ye yxdy dx -=-， 此方程通解为y dy y y dy y ye Cy dy e ye C e x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-⎰=⎰-11，其中C 是任意常数。
`2367．求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件1)1(=y 的特解。