所以一阶常微分方程可以变换为
x(0) (t) ax(1) (t) u
x(0)
(2)
[ x(1)
(2),1]ua;
x(0) (3) x(0) (N )
[

(1)
a (3),1]u
;
......
[
x
(1)
(
N
)
a ,1]u
由于x (1) t
涉及 x (1) 的两个时刻的值，因此
.......
(
1 2
x (1)
(N
)
1 2
x (1)
(N
1)),
1
1 a u
1
写作 y BU
用最小二乘法估计为
Uˆ
aˆ uˆ
(BT B)1 BT
y
将a与u的估计值代入微分方程可得
xˆ(1) (k 1) [x(1) (1) uˆ ]eaˆk uˆ
aˆ
aˆ
当k=1,2，…N-1时求解的为拟合值，当k大 于等于N时求出的为预测值。
一次累加 x(1) {x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (N ) }
设其满足一阶常微分方程
dx (1) ax (1) u dt
由导数定义
dx(1) lim x(1) (t t) x(1) (t)
dt
t
当t变化取值为1单位时，近似的有 x(1) (t 1) x(1) (t) x(1) t
灰色生成
将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处 理称为生成.对原始数据的生成就是企图从杂 乱无章的现象中去发现内在规律.
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累 减生成,均值生成,级比生成等
累加生成
设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
取其前后两个时刻的均值更为合理。所
以将x(1) (i) 替换为
1 x(1) (i) 1 x(1) (i 1)
2
2
所以就有
x(0) (2)
x(0)
(3)
...
x
(0)
(
N
)
(1 2
(1
x(1) (2) x(1) (3)
1
2 1
x(1) (1)), x(1) (2)),
2
2
平均相对误差
rel 1 n rel(k) n k 1
对残差优化
对残差数列
E e(1), e(2),..., e(n)
若存在k0 ,满足 （1）k k0 , e(0) (k)的符号一致； （2）n k0 4
则可以对残差尾段再次利用灰色预测建模 对原结果进行修正。
后验差检验法
设原始序列与残差序列的方差分别为
优点
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、 建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测 是对灰色系统所做的预测.目前常用的一些 预测方法（如回归分析等），需要较大的 样本.若样本较小，常造成较大误差，使预 测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少， 运算方便，建模精度高，在各种预测领域 都有着广泛的应用，是处理小样本预测问 题的有效工具.
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
常见应用
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的 时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻 的特征量，或达到某一特征量的时间。 （2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常 值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时 区内。 （3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测 灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变 预测。 （4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定 值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架 构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的 时点。
6 3+8+10+7 34.
于是得到一个新数据序列
x(1) {6, 9, 17, 27, 34}
对比原始数据与一次累加的生成数据，可 以发现原始数据有明显摆动，而生成数据 呈现逐渐递增的形式.所以累加生成可以将 非负的摆动数列转化为递增数列。
累减生成
累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减 生成是累加生成的逆运算,常简记为 IAGO(Inver se Accumulated Generating Operation), 累减生成可将累加生成还原为 非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息, 其运算符号为∆.
灰色预测
—GM（1.1）模型
简介 灰色生成 GM（1.1）建模机理 模型精度检验
简介
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是 通过少量的、不完全的信息，建立数学模型 并做出预测的一种预测方法.当我们应用运 筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战 略和政策、进行重大问题的决策时，都必须 对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事 物的过去和现在的发展规律，借助于科学的 方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和 分析，并形成科学的假设和判断.
（4）根据 Uˆ (BT B)1 BT y 求估算参数 （5）用时间响应方程计算拟合值， 再用后减运算还原，即
x(0) (i) xˆ(i) xˆ(i 1) , (i 2,3,..., N )
（6）精度检验与预测
累减数列也常用于累加数列的还原中。
均值生成
邻均值生成，就是对等时距数列，用相邻数 据的平均值构造新的生成数据。
非邻均值生成，就是对非等时距数列，或者 等时距数列但是剔除异常值之后产生空穴的 数列,用空穴两边数据求平均值构造新的数 据以填补空穴。
级比生成
级比生成是一种常用的填补序列端点空穴的 方法。对数列端点值的生成，我们无法采用 均值生成填补空缺，只能采用级比生成。级 比生成在建模中可以获得较好的灰指数率。 级比生成分级比与光滑比两种。
S12
1 n
n k 1
x(0) (k) x
2
S
2 2
1 n
n k 1
e(0) (k) e
2
后验差比为
C S2 S1
小误差概率
p Pe(k) e 0.6745S1
模型精度等级 1级（好） 2级（合格） 3级（勉强） 4级（不合格）
精度检验等级参照表
均方差比值C
小误差概率p
C<=0.35
0.95<=p
0.35<C<=0.5
0.80<=p<0.95
0.5<C<=0.65
0.70<=p<0.80
0.65<C
P<0.70
所以模型的精度级别为
Maxp的级别， C的级别
GM（1.1）建模步骤
（1）由原始数据序列 x(0)计算一次累加序
列 x(1)
（2）建立矩阵B，y； （3）(BT B)求1 逆矩阵,(inv)
模型精度检验
灰色关联度
ij
min j
X0(
j)
Xi(
j)
max max
i
j
X0(
j)
Xi
(
X
0
(
j)
X
i
(
j
)
max i
max j
X
0
(
j
)
X
i
(
j)
j)
以一次累加数列为参考序列，以预测数 列为比较序列，利用灰色关联度的方法 可以评价预测结果与原始数据的关联程 度，关联度越大误差越小。
相对误差检验法
设按该模型以求出Xˆ (1) ，并将 Xˆ (1) 做一次累 减转化为Xˆ (0) ，即
Xˆ (0) xˆ(0) (1), xˆ(0) (2),..., xˆ(0) (n)
计算残差
E e(1), e(2),..., e(n)
计算相对误差
rel(k) e(k) 100 %, k 1,2,..., n x(0) (k)
设序列X (0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)]为原始序列,
称 (K )为级比, (k)为光滑比,其表达式为
(k) x(0) (k) / x(0) (k 1)
(k) x(0) (k) / x(1) (k 1)
GM（1.1）建模机理
给定观测序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) }