x(1) x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n) 称为数列 x (0)
的１- 次累加生成数列。类似地有
k
x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2, , n, r 1) i 1
称之为 x (0) 的r- 次累加生成。记
x(r) x(r) (1), x(r) (2), , x(r) (n)
，称之为 x (0) 的r- 次累加生成数列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列的第一 个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列 的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据， 将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数
据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则 进行下去，便可得到生成列。
第一步计算原始数列 X (0) 的模型计算值 Xˆ 。
第二步计算 X (0) 与 Xˆ 的绝对误差
(i) | xˆ (0) (i) x（0）(i) | (i 1, 2,L , n)
代入 xˆ (0) (i)、 x(0) (i) 数据得：
(i) | xˆ (0) (i) x(0) (i) |
第三步计算最小差与最大差
b.
计算原始数列的方差
S12
1 n
n
[x(0)(i)
i 1
Байду номын сангаас
x (0) ]2
c. 计算残差序列 (0) 的均值
1
n
(0)(i)
n i1
d. 求残差的方差
S22
1 n
n
[ (0) (i)
i 1
] (0) 2
e. 计算均方差比
C S2 S1
注合： 格对模给型定。的C0 0,当C C0 称模型为均方差比
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母， M为model的第一个字母。
GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测 模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主 要用于时间序列预测。
f. 计算小误差概率 p P{| (i) | 0.6745 S1}
注：对给定的 p0 0,当p p0 称模型为小误差概
率合格模型 。
g. 检验
根据经验，对给定 , 0 , C0 , p0 的一组取值，就确定
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
残差： i x0 i xˆ0 i i 1,2,..., n
残差序列 (0) ( 1 , 2 ,L n)
i 相对误差：i x0 i 100%
（3）灰色预测数据的特点： 1）序列性：原始数据以时间序列的形式出现。
2）少数据性：原始数据序列可以少到只有4个 数据。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
• 灾变预测
即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
x(1) (1) x(0) (2)
x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(1) (2) x(0) (3)
LL x(1) (n) x(1) (n 1) x(0) (n)
令 Z (1) 为 X (1) 的均值序列Z (1) (z(1) (2),L , z(1) (n))
灰色预测法
1 灰色预测理论 2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1) 模型的改进 4 灰色预测实例
1灰色预测理论
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全
已知的，即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。
一、 GM（1，1）模型概述
设有数列 X (0) 共有 n个观察值
x(0) (1), x（0（） 2）, L x(0) (n)
对 X (0) 作累加生成，得到新的数列 X (1，) 其元素
有：
k
x(1) (k) x(0) (m) k 1, 2,L , n
m1
x(1) (1) x(0) (1) x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2)
数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累 减生成和加权累加生成等。
（1） 累加生成
设原始数列为 x(0) x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n) ，令
k
x (1) (k ) x (0) (i) (k 1,2, , n) i 1
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
dt z(1) (k) 为白化背景值，对应于 x(1) (t)
则灰微分方程对应的白化方程为： dx(1) ax(1) (t) b dt
灰方程也可改写为： az(1) (k) b x(0) (k)
设 aˆ 为待估计参数向量，则
按最小二乘法求解，有：
aˆ
a b
式中：
aˆ (BTB)1BTY
z(1) (2) 1
; t 1, 2,L , n
1 ea
x(0) (1)
b a
e
a
t
;t
1, 2,L
,n
注意：GM(1,1)白化型不是从定义推导出来的，是一种
“借用”或“白化默认”，所以，一切从白化推导出来的结
果，只在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效。
也可由GM(1,1)模型推导出另一表达式——内涵型表达式：
式中： ——数列 X (0) 对 Xˆ
n ——样本个数。
的关联度。
根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满意了。
此外，也可计算 X (0) 与 Xˆ 的绝对关联度 【1】，若对 于给定的 0 0, 有 0 ，则称为关联度合格模型。
(3) 后验差检验
a. 计算原始数列的均值
x(0) 1 n x(0)(i) n i1
z (0) (k) x(0) (k 1) (1 )x(0) (k 1)
由 z (0) (k) 0.5x(0) (k 1) 0.5x(0) (k 1)
而得的数列
z (0) (z (0) (1), z (0) (2), , z (0) (n))
称为紧邻均值生成数列。
2 GM（1，1）模型
z (0) (k) x(0) (k) (1 )x(0) (k 1)
为由数列 x (0) 的邻值在生成系数（权）
下
的邻值生成数（或生成值）。
特别地，当生成系数 0.5 时，则称
z (0) (k) 0.5x(0) (k) 0.5x(0) (k 1)
为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。 类似地，可以定义非紧邻值生成数
（3） 均值生成
设原始数列
x(0) x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (k 1), x(0) (k), , x(0) (n)
则称 x (0) (k 1)与 x(0) (k) 为数列 x (0)的邻值，
x(0) (k 1) 为后邻值， x (0) (k ) 为前邻值.
对于常数 [0,1] ，则称
最小差为： Min{(i)} 最大差为： M ax{(i)}
第四步计算关联系数 (i)
(i) Min{(i)} Max{(i)} (i 1, 2,L , n) (i) Max{(i)}
式中： (i) ——第i个数据的关联系数；
——分辨系数，一般取0.5
第五步计算关联度
1 n (i) n i1
i 1,2,..., n
一般要求 i 20% ，最好是 i 10%
平均相对精度：p0 (1 ) 100%
平均相对误差：
1 n1
n i2
|
i
|
一般要求 p0 80% ，最好是 p0 90%
而对于给定的 ，
当
且 n
成立时，(
为n点的模拟相对误差)
n
称为残差合格模型。
（2）关联度检验
xˆ (0) (t)
1 0.5a t2 1 0.5a
b a x(0) (1) 1 0.5a
;
t
1, 2,L
,n
灰色预测的事前检验
给定序列 X (0) 能否建立较高精度的GM(1,1)模型，一
般用序列 X (0) 的光滑比 (k) 对 X (0) 作准光滑性检验； 用累加序列 X (1) 的级比 (1) (k) 对 X (1) 作准指数规律
B
z
(1)
(
3)
1
LL
z
(1)
(
n)
1
x(0) (2)
Y
x(0)
(3)
L
x(
0)
(
n)
将 aˆ 代入
aˆ
a b
，并解微分方程，有
GM
(1,1)
预测模型——白化响应式（解）为：
xˆ (1) (t
1)
x(0) (1)
b a
e
a
t
b a
xˆ (0) (t 1) xˆ (1) (t 1) xˆ (1) (t )
（2） 累减生成 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成
序列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
一次累减的公式为：
如果数据列为 x(1) x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n) ，令