华南理工大学2010年数学分析考研试题一．求解下列各题 1.确定α与β，使()2lim3420n n n n αβ→∞+---=.2.讨论函数()f x ，()g x 在0x =处的可导性，其中(),,x x f x x x -⎧=⎨⎩为无理数，为有理数，和()22,,x x g x x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩为无理数，为有理数.3.已知()fx 在[)0,+∞上连续，且满足()0fx x≤≤，[)0,x ∈+∞，设1a ≥，()1n n a fa +=，1,2n =，证明（1){}n a 收敛；（2）若limn n a l→∞=，则()f l l =.4.判断下面的级数的收敛性()()()21111n nn xx x x∞=+++∑，0x≥.5.讨论函数()(),1co s yyf x y e x ye =+-的极大值和极小值.6.计算33323Sx d yd z y d zd x z d xd y ++⎰⎰，其中S 为球面2222x y z a ++=的外侧.二．设p 为正常数，函数()()co s pf x x=，证明：当01p <≤时，()fx 在[)0,+∞上一致连续. 三．证明a xb xb xyaee ed y x----=⎰，并计算积分0a xb xee d xx--+∞-⎰，()0b a >>.四．令()()ln 1,0,,,0,xy x f x y xy x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明(),f x y 在其定义域上是连续的.五．求积分D x c y c I d xd y ab ⎛⎫--=+⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰其中D 由曲线1x c y c ab--+=和x c =，y c=所围成，且,,0a b c>.六．设f为定义在(),a +∞上的函数，在每一有限区间(),a b 上有界，且()()lim 1x f x fx A→+∞+-=⎡⎤⎣⎦，证明()limx fx Ax→+∞=.七．设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，证明()()()()()01limnbiiiai f g xfx g x d x λξθ∆→=∆=∑⎰，其中∆为[],a b 的任一分割，01:n a x x x b∆=<<<= ，[]1,,i i i i x x ξθ-∈，1,2,,i n= ，1i i i x x x -∆=-，(){}1m ax i i nx λ≤≤∆=∆.华南理工大学2010年数分考研试题解答一．1.解 由条件知，242lim30n n nnn βα→∞⎛⎫+---= ⎪ ⎪⎝⎭，从而有242lim 30n nnn βα→∞⎛⎫+---=⎪⎪⎝⎭，242lim 33n nnn βα→∞⎛⎫=+--=⎪ ⎪⎝⎭，()2lim3423n n n nβ→∞=+--242lim3423n n n n n→∞-=+-+224lim4233n n nn→∞-=+-+42333==+，3α=，23β=.2.解 显然()00f =，()00g =，()()0f x fx-≤,()()20g x g x -≤,()fx ,()g x 均在0x=处连续，当x 沿着无理点趋向0时，有()()0110fx fx -=-→--，当x 沿着有理点趋向0时，有()()0110fx fx x x-==→-，()()0limx fx fx →--不存在，所以()f x 在0x=处不可导.当x 沿着无理点趋向0时，有()()2000g x fx x x x --==-→-，当x 沿着有理点趋向0时，有()()200g x g xx x x-==→-，于是有()()00limx g x g x →-=-存在，所以()g x 在0x=处可导，且()00g '=.3.证明 （1）有题设条件，知()2110a fa a ≤=≤， ()10n n na fa a +≤=≤，于是{}n a 单调递减，有下界，根据单调有界定理，知{}n a 收敛. （2）设limn n a l→∞=，由于()f x 在[)0,+∞上连续，在()1n n a fa +=中，令n →∞，取极限，得()f l l =.4.解 设()()()()2111n n nxu x x xx =+++ ，显然当0x=时，()00n u =，()10n n u ∞=∑收敛，当0x>时，()0n u x >，()()11,011limlim,1120,1n n n n n x x u x x x u x xx ++→∞→∞<<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩， 于是0x≥，()1n n u x ∞=∑收敛.5.解 ()()1sin yf ex x∂=+-∂，()co s yyyf e x ye ey∂=-+∂()co s 1ye x y =-+⎡⎤⎣⎦.易知(,)f x y 的驻点集为()(){}2,0,(21),2:k kk Z ππ+-∈，又由()1co s yxx f ex =-+，sin yxyfe x=-，(cos 2)yyy f e x y =--，知(2,0)20|01k H f π-⎛⎫= ⎪-⎝⎭是负定矩阵，2((21),2)210|0k eH f eπ-+--⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，于是(,)f x y 在(){}2,0:k k Z π∈处取的最大值2，且(,)f x y 无极小值，也无最小值。

6.解 设(){}2222,,:Vx y z xy z a=++≤，利用高斯公式及对称性，33323Sxd yd z y d zd x z d xd y ++⎰⎰()222369Vxy zd xd yd z =++⎰⎰⎰()()222123Vx y zd xd yd z =++++⎰⎰⎰222006sin a d d r r d r ππθϕϕ=⎰⎰⎰5512462255a a ππ=⋅⋅⋅=.二．证明 证法一：显然()f x 在[)0,+∞上连续，对0x >，有()()1sin p p f x x p x -'=-⋅，显然()f x '在[)1,+∞上有界，于是得()f x 在[)1,+∞上一致连续， 显然()f x 在[]0,2上一致连续， 故有()f x 在[)0,+∞上一致连续. 证法二 我们知道，当01p <≤时，对任意[)12,0,x x ∈+∞，成立2121pp px x x x -≤-，显然1212co s co s y y y y -≤-，()()()()2121cos cos pp fx fx x x -=-2121pppx x x x ≤-≤-，由此，即得()f x 在[)0,+∞上一致连续. 三．证明 1b bxyxy aaed ye d y y x --∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰1y bxy y ae x =-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭a xb xee x---=，(),xyfx y e-=在[)[]0,,a b +∞⨯上连续，()0,fx y d x +∞⎰关于[],y a b ∈一致收敛，所以有()()0,,b b aad x fx y d yd y fx y d x +∞+∞=⎰⎰⎰⎰，a xb xbxyaee d x d x ed yx--+∞+∞--=⎰⎰⎰bxyad y ed x +∞-=⎰⎰1b ad y y=⎰ln b ay=lnb a=.四．证明 (),f x y 的定义域(){},:1D x y xy =>-，显然(),f x y 在(),x y D ∈，()0x≠处连续，()0,00f=，()()00ln 1lim ,limx x y y xy fx y x→→→→+=()100lim ln 10xyx y y xy →→=+=，所以(),f x y 在()0,0处连续，对任意0y ≠，()000,f y y =，()()()010000lim ,lim ln 1,xyx x y y y y fx y y xy y fx y →→→→=+==，即(),f x y 在()00,y 处连续，故结论得证.五、求 ()Dx c y c d xd yab--+⎰⎰,,1c x bc y ac x D ==-+-和由曲线其中0.c b,, ,>=a c y 并且所围成解 被积函数和积分区域的部分边界具有相同的形式, 因此要设法把被积函数表达式化成简单的形式.令,sin ,cos44θθbr c y ar c x+=+=则,sin cos4),(),(33θθθabr r y x J=∂∂=而积分区域变为{0,01}2r πθ≤≤≤≤,于是⎰⎰-+-Ddxdybc y ac x )(=.152sin cos433201ab dr r abr d =⎰⎰θθθπ六．证明 由()lim [1()]x fx f x A→+∞+-=，知，对任意ε>，存在M a>，当x M≥时，有()[1()]fx f x A εε-<+--<，于是有()[()]n fx n f x nA n εε-<+--<，(1,2,)n= ；()()fx n f x A nεε+--<-<，()([])[]fy f y y x A y x εε----<-<-，再由()([])()[]([])[]f y f y y x f y y x f y y x yyy x y------=+-，及条件结论得证。

Stolz 公式可以推广到函数极限的情况 定理一 若0T>为常数，()f x ，()g x 在[),a +∞上有定义，满足条件（1）()()g x T g x +>，xa∀≥；（2）()lim x g x →+∞=+∞，对任意的ba>，()f x ，()g x 在[],a b 上有界；（3）()()()()limx fx T f x lg x T g x →+∞+-=+-，则()()limx fx lg x →+∞=，（其中l 为有限数，或者+∞或者-∞）.定理2.设()f x ，()g x 在[),a +∞上有定义，若0T >为常数，满足条件（1）()()0g x T g x <+<，xa∀≥；（2）()lim 0x fx →+∞=，()lim 0x g x →+∞=； （3）()()()()limx f x T f x lg x T g x →+∞+-=+-，则()()limx fx lg x →+∞=，（其中l 为有限数，或者+∞或者-∞）.例1.4.5 若f 在(),a +∞内有定义，对任意[](),,a αβ⊂+∞，f在[],αβ上有界，则（1）()()()limlim 1x x fx f x fx x→+∞→+∞=+-⎡⎤⎣⎦；（2）()()()11lim limx x x fx f x f x →+∞→+∞+=⎡⎤⎣⎦，()()0f x c ≥>当右边极限存在时成立.1.4.6 设()f x 在[),a +∞上有定义，且对任意b a>，()f x 在[],a b 上有界，若()()1limnx fx fx lx→+∞+-=，（其中l 为有限数，或者+∞或者-∞），则()1lim1n x f x l xn +→+∞=+.证明()()()()1111limlim1n n n x x f x fx fx xx x+++→+∞→+∞+-=+-()()()2111lim11nn x n fx fx n xC x-→+∞++-=++++()()()211lim111nx n nfx fx xn C xx→+∞++-=++++1l n =+.定理11设g f ,在],[b a 上连续.对区间],[b a 的任意分割∆：bx x x x a n n =<<<<=-110 ，任取 ],[1i i i x x -∈ξ，],[1i i i x x -∈η，n i ,,2,1 =，记1--=∆i i i x x x ，i ni x ∆=∆≤≤1max )(λ； 成立dxx g x f x g f bai i i ni )()()()(lim1)(⎰∑=∆=→∆ηξλ。