2020届高三摸底测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合3{|0},{|2}1x M x N x y x x -=≥==--，则()M N R I ð等于 A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3] 2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.13.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.95.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为$24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于A.10B.12C.13D.146.在平面直角坐标系xOy 中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r，则动点P的轨迹方程是A.y 2＝4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4xD.x 2＝－4y7.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题q ：点(1，1)在区域D 内，则下列命题中，真命题是A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝8.已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 是BC 的中点，则HM BC ⋅=u u u u r u u u rA.5B.6C.7D.89.圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是A.(2,5)B.55(,)32 C.55(,)42D.5,21) 10.已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log , ()log , log 23aba b c c ===，则A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。

二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(10000001001)2。

我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7×7＝61，7×6＝52，7×5＝43，˙˙˙，请类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为A.(446)8B.(1134)8C.(1234)8D.(4321)812.函数22()()e xf x x ax ax a =--+(e 为自然对数的底数，R a ∈，a 为常数)有三个不同零点，则a 的取值范围是A.1(,0)e - B.(,0)-∞ C.1(,)e-+∞ D.(0,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.61(2)x x-展开式中的常数项为 。

14.已知定义在R 上的偶函数f(x)满足(2)()0f x f x -+=，(0)3f =，则(10)f 等于15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2＝1，2122(3)n n n S S S n --+=+≥，则a 3的值为 16.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，垂直于棱AA 1的截面分别与面对角线A 1D ，A 1B ，C 1B ，C 1D 相交于点E ，F ，G ，H ，则四棱锥A 1－EFGH 体积的最大值为 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分.17.(12分)已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且23c =，π2sin(2)33C -=。

(Ⅰ)若边22a =，求角A ； (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值。

18.(12分)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝120°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3， E 是BC 的中点，F 是A 1E 上一点，且A 1F ＝3FE 。

(Ⅰ)证明：AF ⊥平面A 1BC ；(Ⅱ)求二面角B －A 1E －B 1余弦值的大小。

19.(12分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3000元)、专业二等奖学金(奖金额1500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。

图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。

(Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9％的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？ (Ⅲ)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望。

22()()()()()n ad bc K a b c b d c a d -=++++P(0k k >)0.01 0.05 0.010 0.005 0.001 k 02.713.846.647.8810.8320.(12分)已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>四个顶点中的三个是边长为3点。

(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线y ＝kx ＋m 与圆O ：22223b x y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段||MN 的最大值。

21.(12分)已知函数e ()2ln(1)axf x x x a=+-+(e 为自然对数的底数，a 为常数，且0a ≠) (Ⅰ)若函数在x ＝1处的切线与直线ex －y ＝0平行，求a 的值； (Ⅱ)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求a 的取值范围。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，([0,2)απ∈，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩，得到曲线C 1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)。

(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；(Ⅱ)若射线OA ：()0θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线OB ：()02πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB+的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+。

(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式()3f x ≥的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[1，2]，求a 的取值集合。