2020年北京市通州区中考数学一模试卷一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题2分，共16分）1.在疫情防控的特殊时期，为了满足初三高三学生的复习备考需求，北京市教委联合北京卫视共同推出电视课堂节目《老师请回答特别节目“空中课堂”》，在节目播出期间．全市约有200000名师生收看了节目．将200000用科学记数法表示应为（）A. 5⨯ D. 6210210⨯0.210⨯ C. 50.210⨯ B. 6【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】将200000用科学记数法表示应为2×105，故选：C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义即可判断．【详解】A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．3.在数轴上，表示实数a 的点如图所示，则2a -的值可以为（ ）A. 5.4-B. 1.4-C. 0D. 1.4【答案】B 【解析】 【分析】首先能够结合数轴得到a 的取值范围，从而判断2-a 的值. 【详解】根据数轴，可知3＜a ＜4， ∴在所有选项中，2-a 的值只可能为-1.4； 故选B ．【点睛】本题考查了实数与数轴，结合数轴得出实数a 的取值范围是解题的关键.4.以AB 2cm BC 3cm CD 2cm DA 4cm ====，，，为边画出四边形ABCD ，可以画出的四边形个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 无限多【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系和四边形的不稳定性即可得到结论．【详解】以AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，CD ＝2cm ，DA ＝4cm 为边画出四边形ABCD ，可以画出无限多个四边形， 故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，四边形的性质，熟练掌握四边形的不稳定性是解题的关键． 5.在一个长2分米、宽1分米、高8分米的长方体容器中，水面高5分米,把一个实心铁块缓慢浸入这个容器的水中，能够表示铁块浸入水中的体积y (单位：立方分米)与水面上升高度x (单位：分米)之间关系的图象的是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据x 是水面上升高度和水面最多上升到容器高度，即可做出判断． 【详解】x 表示的是水面上升高度，而不是水面高度，所以C 、D 排除．现在水面是5分米，容器高8分米，不管铁块多大，水面只能上升8-5=3分米，而不是无限上升， 所以B 不对，故正确的为A ， 故选A ．【点睛】本题考查了用图像来反映函数自变量和因变量的变化关系，考生需要算出各个量的范围来进行判断． 6.如果2a a 10+-=，那么代数式2a 1a1a 2a 1a 1-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭的值是（ ） A. 3 B. 1C. 1-D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a 2＋a ＝1，整体代入计算可得．【详解】原式＝22221121211a a a aa a a a a ⎛⎫++--÷ ⎪+++++⎝⎭=2221(1)a a a a a+++⋅+ =222a a a a+++， ∵a 2＋a−1＝0， ∴a 2＋a ＝1， 则原式＝121+＝3，故选：A ．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7.在平面直角坐标系xOy 中，点()()2A 12B 23y ax -=，，，，的图象如图所示，则a 的值可以为（ ）A. 0.7B. 0.9C. 2D. 2.1【答案】B 【解析】 【分析】分别将A ，B 两点的横坐标代入2y ax =，由图像知，1x =-时2y ax =的函数值2<，当2x =时，2y ax =的函数值3>，列出不等式组，即可求解．【详解】解：将1x =-代入2y ax =中时，得：y a =，将2x =代入2y ax =中时，得：4y a =，根据图像可知，1x =-时2y ax =的函数值2<，当2x =时，2y ax =的函数值3>，则有：243a a <⎧⎨>⎩ ，解得：324a <<， 故选B ．【点睛】本题考查二次函数，难度一般，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题．8.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 种支付方式和仅使用B 种支付方式的学生的支付金额a (元)的分布情况如下：下面有四个推断：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A 支付方式的概率大于他使用B 支付方式的概率；②根据样本数据估计，全校1000名学生中．同时使用A 、B 两种支付方式的大约有400人； ③样本中仅使用A 种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B 种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①②③④【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据概率公式、样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义逐一判断可得．【详解】解：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A 支付方式的概率为18930.3100++=，使用B 支付方式的概率为511001410.2++=，此推断合理；②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A ，B 两种支付方式的大约有100530251000400100---⨯=（人），此推断合理；③样本中仅使用A 种支付方式的同学，第15、16个数据均落在0＜a ≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理；④样本中仅使用B 种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数无法估计，此推断不正确． 故推断正确的有①②③. 故选：C ．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握熟练概率公式、样本估计总体思想的运用、中位数和平均数的定义．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分)9.举出一个数字“0”表示正负之间分界点的实际例子，如__________． 【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一） 【解析】【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可．【详解】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）． 故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 10.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形的内角和是_____． 【答案】540°． 【解析】【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108°， ∴多边形的每一个外角都等于180°-108°=72°， ∴边数n=360°÷72°=5， 内角和为（5-2）×180°=540°． 故答案为：540°．【点睛】本题考查多边形内角与外角．11.若()()4m 14n 14K 1++=+，则K 可以用含m n ，的代数式表示为________． 【答案】4mn+m+n 【解析】 【分析】直接利用多项式乘以多项式计算进而得出答案． 【详解】解：∵(4m+1)(4n+1)=4K+1， ∴16mn+4m+4n+1=4K+1， ∴4K=16mn+4m+4n ， ∴K=4mn+m+n ． 故答案为：4mn+m+n ．【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．12.把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD 的面积为_____．【答案】1．【解析】【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【详解】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1,故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．13.某班甲、乙、丙三名同学20天的体温数据记录如下表：则在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是________．【答案】丙【解析】【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．【详解】解：甲的平均数为：120×(36.1×5+36.4×5+36.5×5+36.8×5)=36.45；乙的平均数为：120×(36.1×6+36.4×4+36.5×4+36.8×6)=36.45；丙的平均数为：120×(36.1×4+36.4×6+36.5×6+36.8×4)=36.45；甲的方差为：1×[5×(36.1-36.45)2+5×(36.4-36.45)2+5×(36.5-36.45)2+5×(36.8-36.45)2]=0.0625；20乙的方差为：1×[6×(36.1-36.45)2+4×(36.4-36.45)2+4×(36.5-36.45)2+6×（36.8-36.45）2]=0.0745；20丙方差为：1×[4×(36.1-36.45)2+6×(36.4-36.45)2+6×(36.5-36.45)2+4×(36.8-36.45)2]=0.0505；20的∵0.0505＜0.0625＜0.0745，∴在这20天中，甲、乙、丙三名同学的体温情况最稳定的是丙，故答案为：丙．【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14.如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C′，AD与BC′交于点E，若∠ABE＝30°，BC＝3，则DE的长度为_____．【答案】2．【解析】【分析】由∠ABE＝30°，可得∠CBD=∠C'BD=∠EDB=30°，证出BE=2AE，得出DE=BE=2AE，求出AE=1，得出DE=2即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，由折叠的性质得：∠CBD＝∠C'BD，∵∠ABE＝30°，∴BE＝2AE，∠CBD＝∠C'BD＝∠EDB＝30°，∴DE＝BE＝2AE，∵AD＝AE+DE＝3，∴AE+2AE＝3，∴AE＝1，∴DE＝2；故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．15.一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍，若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a,b,c，且0a b c<≤≤，那么三等奖的奖金金额是_______元．【答案】98或77【解析】【分析】由a，b，c之间的关系结合a，b，c均为整数，即可得出a，b，c的值，设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，根据奖金的总额为1078元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（取其为整数的值）．【详解】解：∵a+b+c=6，0＜a≤b≤c，且a，b，c均为整数，∴114abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，123abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，222abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩．设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，依题意，得：4x+2x+4x=1078，4x+2×2x+3x=1078，2×4x+2×2x+2x=1078，解得：x=107.8（不合题意，舍去），x=98，x=77．故答案为：98或77．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16.如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是_____．【答案】①②③④． 【解析】 【分析】连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理得到PQ ∥AC ，PQ=12AC ，MN ∥AC ，MN=12AC ，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】①当AC 与BD 不平行时，中点四边形MNPQ 是平行四边形； 故存在无数个中点四边形MNPQ 是平行四边形；②当AC 与BD 相等且不平行时，中点四边形MNPQ 是菱形； 故存在无数个中点四边形MNPQ 是菱形；③当AC 与BD 互相垂直（B ，D 不重合）时，中点四边形MNPQ 是矩形； 故存在无数个中点四边形MNPQ 是矩形；④如图所示，当AC 与BD 相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ 是正方形．故存在两个中点四边形MNPQ 是正方形． 故答案为：①②③④．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题每小题5分；第，每小题5分）17.计算：()1142604sin π-----+（）.【答案】3 【解析】 【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可【详解】原式124+14==3【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．18.解不等式组()112322x x x +⎧≥⎪⎨⎪->-⎩．【答案】x ＞2 【解析】 分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式112x +≥，得：x ≥1， 解不等式3（x−2）＞2−x ，得：x ＞2， 则不等式组的解集为x ＞2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19.已知：关于x 的方程()2m 2x 3x 20---=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若该方程有两个实数根，取一个m 的值，求此时该方程的根． 【答案】(1) 78≥m ；(2) 取3m =时，其根为32±(答案不唯一). 【解析】 【分析】(1)分m-2=0和m-2≠0两种情况，其中m-2≠0时根据根的判别式求解可得； (2)所求范围内取一个m 的值代入方程，再解之即可得． 【详解】(1)∵关于x 的方程（m-2）x 2-3x-2=0有实数根， ∴①当20m -=，此时方程为-3x-2=0，方程解为x=-23，即2m =时满足题意要求； ②当20m -≠，即2m ≠时，224(3)4(2)(2)0b ac m ∆=-=--⨯-⨯-≥，【解得78≥m且2m≠综上，m的取值范围是：78≥m.故答案为：78≥m.（2）取3m=，此时方程为x2-3x-2=0，a=1，b=-3，c=-2，b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=17>0，所以==x.故取3m=(答案不唯一)【点睛】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．20.已知线段AB，直线l垂直平分AB且交AB于点O．以O为圆心，AO长为半径作弧，交直线l于C,D两点，分别连接AC AD BC BD，，，．(1)根据题意，补全图形；(2)求证：四边形ACBD为正方形．【答案】(1)见解析；(2)证明过程见解析.【解析】【分析】（1）直接根据题意中垂直平分线的尺规作图画出图形即可；（2）直接利用基本作图方法结合正方形的判定方法得出答案． 【详解】解：（1）如下图所示：（2）证明：∵直线l 垂直平分AB ，∴AC=BC ，BD=AD ，∠AOC=∠AOD=90°，且CO 与DO 都是以O 为圆心半径，在△AOC 和△AOD 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CO DO AOD AOD AO AO ∴△AOC ≌△AOD （SAS ）， ∴AC=BC=BD=AD ， ∴四边形ACBD 是菱形， 又∵OA=OB=OC=OD ， ∴∠CAD=45°+45°=90°， ∴菱形ACBD 为正方形．【点睛】此题主要考查了基本作图以及正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．21.国务院发布的《全民科学素质行动计划纲要实施方案(2016-2020年)》指出：公民科学素质是实施创新驱动发展战略的基础，是国家综合国力的体现．《方案》明确提出，2020年要将我国公民科学素质的数值提升到10%以上．为了解我国公民科学素质水平及发展状况，中国科协等单位已多次组织了全国范围的调查，以下是根据调查结果整理得到的部分信息．注：科学素质的数值是指具备一定科学素质的公民人数占公民总数的百分比．a ．2015和2018年我国各直辖市公民科学素质发展状况统计图如下：的b．2015年和2018年我国公民科学素质发展状况按性别分类统计如下：c．2001年以来我国公民科学素质水平发展统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)在我国四个直辖市中，从2015年到2018年，公民科学素质水平增幅最大的城市是________，公民科学素质水平增速最快的城市是_________．注：科学素质水平增幅=2018年科学素质的数值一2015年科学素质的数值；科学素质水平增速=(2018年科学素质的数值一2015年科学素质的数值)÷2015年科学素质的数值．(2)已知在2015年的调查样本中，男女公民的比例约为1：1，则2015年我国公民的科学素质水平为______%(结果保留一位小数)；由计算可知．在2018年的调查样本中．男性公民人数_____女性公民人数(填“多于”、“等于”或“少于”)．(3)根据截至2018年的调查数据推断，你认为“2020年我国公民科学素质提升到10%以上”的目标能够实现吗?请说明理由．【答案】（1）北京，重庆；（2）6.2，少于；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用条形统计图中信息判断即可．（2）利用表格和折线统计图信息，解决问题即可．（3）答案不唯一，说法合理即可．【详解】解：（1）由2015和2018年我国各直辖市公民科学素质发展状况统计图如图1得知，上海：22%-19%=3%，北京：21.5%-17.5%=4%，天津：14%-12%=2%，重庆：8%-4.5%=3.5%，故在我国四个直辖市中，从2015年到2018年，公民科学素质水平增幅最大的城市是北京；上海：3%÷19%≈16%，北京：4%÷21.5%≈19%，天津：2%÷12%≈17%，重庆：3.5%÷4.5%=78%，故公民科学素质水平增速最快的城市是重庆；故答案为：北京，重庆；（2）∵在2015年的调查样本中，男女公民的比例约为1：1，∴2015年我国公民的科学素质水平为（9.0%+3.4%）÷2=6.2%，设男性公民占x%，则有11.1%×x%+6.2%×（1-x%）=8.5%，解得x=47，∴男性公民人数少于女性公民人数，故答案为6.2，少于．（3）①能实现．理由如下：2015年我国公民的科学素质水平为6.2%，2018年我国公民的科学素质水平为8.5%，平均每年的增幅平均为0.77%，如果按照匀速增长的速度推断，2020年我国公民的科学素质水平达到10.3%，由此可知，“2020年我国公民科学素质提升到10%以上”的目标能够实现．②条件不足，无法判断．理由如下：一种情形同①，能实现目标．另一种情形，无法判断．因为不知道2018～2020年间我国公民的科学素质水平的增从速度是加快还是减缓，所以无法判断，2020年能否实现目标．【点睛】本题考查条形统计图，统计表，折线统计图等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，属于中考常考题型．22.已知：△ABC 为等边三角形．（1）求作：△ABC 的外接圆⊙O ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线EF ，与AB 的延长线交于点F ． ①根据题意，将（1）中图形补全； ②求证：EF ∥BC ； ③若DE ＝2，求EF 的长．【答案】（1）如图所示：⊙O 即为所求．见解析；（2）①如图2，补全图形，见解析；②证明见解析；③EF ． 【解析】 【分析】（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案； （2）①按题意画出图形即可；②连接OB ，OC ，证明AE ⊥BC ．可得出AE ⊥EF ，则结论得证；③得出∠BOD=60°，设OD=x ，则OB=OE=2+x ，得出cos ∠BOD 122OD x OB x ===+，求出x=2，得出tan ∠BAD 83EF EF AE ===EF 的值． 【详解】（1）如图所示：⊙O 即为所求．（2）①如图2，补全图形：②证明：连接OB，OC，∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴AE⊥BC．∵直线EF为⊙O的切线，∴AE⊥EF，∴EF∥BC；③解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAD＝12∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵DE＝2，设OD＝x，∴OB ＝OE ＝2+x ，在Rt △OBD 中，∵OD ⊥BC ，∠BOD ＝60°， ∴cos ∠BOD ＝122OD x OB x ==+， ∴x ＝2，∴OD ＝2，OB ＝4， ∴AE ＝8，在△AEF 中，∵AE ⊥EF ，∠BAD ＝30°，∴tan ∠BAD ＝8EF EF AE ==，∴EF ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，平行线的判定，能综合运用知识点进行推理计算是解此题的关键．23.如图，四边形ABCD 为矩形，点E 为边AB 上一点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点P ，连接P A ，∠DP A ＝2∠DPC ．求证：DE ＝2P A ．【答案】见解析． 【解析】 【分析】如图，取DE 的中点F ，连接AF ，根据矩形的性质得到AD ∥BC ，求得∠DPC=∠ADP ，根据直角三角形的性质得到AF=DF=12DE ，求得∠ADP=∠DAF ，等量代换得到结论． 【详解】证明：如图，取DE 的中点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠DPC ＝∠ADP ， ∵∠BAD ＝90°， ∴AF ＝DF ＝12DE ， ∴∠ADP ＝∠DAF ，∴∠AFP ＝2∠ADP ＝2∠DPC ， ∵∠DP A ＝2∠DPC ， ∴∠DP A ＝∠AFP ， ∴AP ＝AF ＝12DE ， ∴DE ＝2P A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24.已知：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意的实数()a a 0≠，直线y ax a 2=+-都经过平面内一个定点A ． （1）求点A 的坐标． （2）反比例函数by x=的图象与直线y ax a 2=+-交于点A 和另外一点()P m n ，． ①求b值；②当n 2>-时，求m 的取值范围【答案】(1) A(-1,-2)；(2)①b=2， m ＞0或m ＜-1. 【解析】 【分析】(1)解析式化为y=ax+a-2=a(x+1)-2，即可求得；(2)①根据待定系数法即可求得；②根据反比例函数的性质即可判定点P(m,n)在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．【详解】解：（1）∵y=ax+a-2=a(x+1)-2， ∴当x=-1时，y=-2，∴直线y=ax+a-2都经过平面内一个定点A(-1,-2)； 故答案为：A(-1,-2).（2）①∵反比例函数by x=的图像经过点A ， ∴b=-1×(-2)=2； ②若点P(m,n)在第一象限，当n ＞-2时，m ＞0， 若点P(m,n)在第三象限，当n ＞-2时，m ＜-1，的综上，当n＞-2时，m＞0或m＜-1．故答案为：b=2，m的取值范围是：m＞0或m＜-1.【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数过定点就是不管参数取什么值，其图像都经过该点；一次函数的性质以及反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键．25.如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题：（1）表格中α的值为．（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为．【答案】（1）50°；（2）①x1，x2；②见解析；③﹣1.87（答案不唯一）．【解析】【分析】（1）x=0时和x=5时，两个θ角为同旁内角，即可求解；（2）①根据变量的定义即可求解；②根据表格中θ的数据，从图2读出θ对应的x 2的数据并列表，依据表格数据描图即可；③当AP=3.5时，即x 1=3.5时，从图象读出x 2的值即可．【详解】（1）当x ＝5时，θ＝∠QMP ＝130°，当x ＝0时，θ＝∠QMP ＝α，x ＝0时和x ＝5时，两个θ角为AD ∥BC 时的两个同旁内角，故α＝180°﹣130°＝50°，故答案为50°；（2）①根据变量的定义，x 1是自变量，x 2是因变量；故答案为：x 1，x 2；②根据表格中θ的数据，从图2读出θ对应的x 2的数据并列出下表：依据上述表格数据，描点绘出下图：③当AP ＝3.5时，即x 1＝3.5时，从图象看x 2的值约为﹣1.87，故答案为﹣1.87（答案不唯一）．【点睛】本题考查函数的图象，函数的基本知识等，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型26.在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线2y x 2x m 1=+++以及两点()()A m m 1B m m 3++，和，．(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m 的代数式表示)(2)若该抛物线经过点()A m m 1+，，求此抛物线的表达式；(3)若该抛物线与线段AB 有公共点，结合图象，求m 的取值范围．【答案】（1）(1,)m -；（2）：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-；（3）01m ≤≤-或12m -≤≤-.【解析】【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；（2）根据题意将()A m m 1+，代入求出m 的值即可求得该抛物线的表达式；（3）根据题意分m ≥0，m ＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为：22y x 2x m 1(1)x m =+++=++，∴顶点坐标为：(1,)m -.（2）∵抛物线经过点()A m m 1+，，∴21(1)m m m +=++，解得0,2m =-，所以该抛物线的表达式为：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-.（3）当m ≥0时，如图1中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∴220m m +≥且2220m m +-≤，解得01m ≤≤-．当m ＜0时，如图2中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∴m 2+2m ≥0且m 2+2m-2≤0，解得12m -≤≤-，综上所述，满足条件的m 的值为：01m ≤≤-+或12m --≤≤-．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答．27.已知线段AB ，过点A 的射线l ⊥AB ．在射线l 上截取线段AC ＝AB ，连接BC ，点M 为BC 的中点，点P 为AB 边上一动点，点N 为线段BM 上一动点，以点P 为旋转中心，将△BPN 逆时针旋转90°得到△DPE ，B 的对应点为D ，N 的对应点为E ．（1）当点N 与点M 重合，且点P 不是AB 中点时，①据题意在图中补全图形；②证明：以A ，M ，E ，D 为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM ．若AB ＝4，从下列3个条件中选择1个：①BP ＝1，②PN ＝1，③BN ，当条件 （填入序号）满足时，一定有EM ＝EA ，并证明这个结论．【答案】（1）①补全图形见解析；②证明见解析；（2）③．【解析】【分析】（1）①按照题中叙述画出图形即可；②如图，连接AE，AM．由题意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋转可知△DPE≌△BPN，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的四边形是矩形进行判断即可；（2）当条件③满足时，一定有EM=EA．先证明四边形FMDE是矩形再证明FE垂直平分AM，从而可得答案．【详解】（1）①补全图形如下：②证明：如图，连接AE，AM．由题意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，则AM⊥BC，AM＝12 BC，∵旋转，∴△DPE≌△BPN，∴DE＝BN＝12BC，∠EDP＝∠PBD．∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，∴ED⊥BC，∴ED∥AM，且ED＝AM，∴四边形AMDE为平行四边形．又∵AM⊥BC，∴∠AMD＝90°，∴四边形AMDE是矩形．（2）答：当条件③BN满足时，一定有EM＝EA．证明：与（1）②同理，此时仍有△DPE≌△BPN，∴DE＝BN，DE⊥BC，取AM的中点F，连接FE，如图所示：∵AB＝4，则AM＝4×sin45°＝，∴FM．∴ED∥FM，且ED＝FM，∴四边形FMDE是平行四边形，又FM⊥BC，∴∠FMD＝90°，∴四边形FMDE是矩形．∴FE⊥AM，且F A＝FM，∴EA＝EM．故答案为：③．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．∠的两边上(不与点O重合)，并且MN除端点外的所有点都在28.如果MN的两个端点M,N分别在AOBAOB∠的“连角弧”．∠的内部，则称MN是AOB∠是直角，MN是以O为圆心，半径为1的“连角弧”．(1)图1中，AOB，为端点、长度相同的“连角弧”；①图中MN的长是______，并在图中再作一条以M N②以M,N 为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是_______．(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点(M ，点()N t 0，在x 轴正半轴上，若MN 是半圆，也是AOB ∠的“连角弧”，求t 的取值范围．(3)如图3，已知点M N ，分别在射线OA OB ，上，ON 4MN =．是AOB ∠的“连角弧”，且MN 所在圆的半径为1，直接写出AOB ∠的取值范围．【答案】(1) ①2π，作图见解析；②32π ；(2) 1≤t ≤3；(3) 0°<∠AOB≤30°； 【解析】【分析】 (1) ①根据弧长公式计算，即可得到答案；以ON 、OM 为边长做正方形OMHN ，再以H 为圆心，OM 为半径画弧，即可得到；②根据直径所对的弧长最长，计算即可得到答案；(2)当MN 垂直x 轴交x 轴于N 点时，此时t 最小；当MN 垂直ON 时，此时t 最大，分这两种情况分别求出t 即可得到t 的范围；(3)分OM ⊥MN 时，取到角度最大值，计算求解出角度的大小即可得到答案；。