3.[2017山东卷文·10,5分]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具
有M性质.下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x
B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x
D.f(x)=cos x
答案
4.[2017全国卷Ⅱ理·11,5分]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为 ( )
答案
6.[2019北京卷理·13,5分]设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=
取值范围是
.
;若f(x)是R上的增函数,则a的
答案
7.[2019全国Ⅰ卷文·13,5分]曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
.
答案
8.[2019江苏卷·11,5分]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自
答案
答案
答案
答案
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
-2
(-2,0)
0
g'(x)
+
-
g(x)
-6
↗
0
↘
所以g(x)的最小值为-6,最大值为0. (9分) 故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x. (10分) (3)由(2)知, 当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3; 当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3; 当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3. (13分)
然对数的底数),则点A的坐标是
.
答案
9.[2018全国Ⅰ卷理·16,5分]已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是
.
答案
答案
10.[2018全国Ⅲ卷理·14,5分]曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=
.
答案
10.-3 【解析】 y'=(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为-2,得y'│x=0=(ax+1+a)ex│x=0=1+a=-2,所以a=-3.
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
1.[2019全国Ⅲ卷文·7,5分]已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1
B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1
D.a=e-1,b=-1
答案
2.[2017浙江卷·7,4分]函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可 能是 ( )
11.[2017天津卷文·10,5分]已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距
为
.
答案
12.[2019全国卷Ⅱ文·21,12分]已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点; (2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
答案
4.A 【解析】 因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f '(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数 f(x)= (x2+ax-1)ex-1的极值点,所以x=-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,所以f '(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f '(x)>0,解得x<-2或x>1,令f '(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,故选A.
A
B
C
D
答案
2.D 【解析】 根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数f(x)在 这些零点处取得极值,排除A,B;记导函数 f '(x)的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上f '(x)<0,所以函数f(x)在(∞,x1)上单调递减,排除C,故选D.
第一章 导数及其应用
数学·选修2-2·RJA
1.函数f(x)=exln x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 ( )
A.y=2e(x-1)
B.y=ex-1
C.y=e(x-1)
D.y=x-e
答案
答案
3.已知函数f(x)=ax+x2-xln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒成立,则实数a的取值范围为 ( )
答案
5.已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围是( )
.(-3,-2)
答案
5.D 【解析】 设切点为(t,t3-3t),f '(x)=3x2-3,则切线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3.把A(1,m)代入 整理,得2t3-3t2+m+3=0 ①.因为过点A可作三条切线,所以①有三个解.记g(t)=2t3-3t2+m+3,则g'(t)=6t2-6t=6t(t-1),所 以当t=0时,极大值g(0)=m+3,当t=1时,极小值g(1)=m+2.要使g(t)有三个零点,只需m+3>0且m+2<0,即-3<m<-2.
A.[e2,+∞)
B.[e,+∞)
C.[2,e]
D.[e,e2]
答案
3.A 【解析】 分析知a≥2.由于f '(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,所以当0<x<1时,f '(x)>0,即函数f(x)在[0,1]上单 调递增,则当x∈[0,1]时,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,所以f(x)max-f(x)min=a-ln a,因为对任意的 x1,x2∈[0,1],|f(x1)-f(x2)|≤ a-2恒成立,所以a-2≥a-ln a,即ln a≥2,解得a≥e2,所以实数a的取值范围为[e2,+∞).故选A.