1解三角形易错题解析易错题解析例题1 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a b c222<+，求A 的取值范围。

错解：∵a b c b c a2222220<++->，∴。

则cos Ab c abc=+->22220，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且cos90090°，∴°=<A又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。

题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

正解：由上面的解法，可得A＜90°。

又∵a为最大边，∴A＞60°。

因此得A的取值范围是（60°，90°）。

例题2 在△ABC中，若abAB22=tantan，试判断△ABC的形状。

错解：由正弦定理，得sinsintantan22ABAB=即sin sinsincoscossinsin sin2200ABAABBA B=>>·，∵，∴，即sin cos sin cos sin sinA AB B A B==22。

∴2A＝2B，即A＝B。

故△ABC是等腰三角形。

213602393R a A ===sin sin °。

∴a b c A B C R ++++==sin sin sin 22393。

例题4 在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。

错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-=+1506230°°∴a A=+262()sin ，b A =+-262150()sin()°又∵sin sin()A A ≤-≤11501，°∴a b +≤+++=+262262462()()()。

故a b +的最大值为462()+。

辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。

这里A 与150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。

正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-=+1506230°°因此a b A A +=++-262150()[sin sin()]°2(62)sin 75cos(75)624(62)cos(75)(843)cos(75)843A A A =-+=-=+-≤+·°°·°°∴a ＋b 的最大值为843+。

例题5 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

错解：由余弦定理，得c a b ab 222215=+-cos °624822228434=+-=-×××∴c =-62。

又由正弦定理，得sin sin A a C c ==12而000018030150A A A <<=，∴＝或。

辨析：由题意b a >，∴B A >。

因此A ＝150°是不可能的。

错因是没有认真审题，未利用隐含条件。

在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。

正解：同上c A b a =-=>6212，，∵sin ， 00018030B A A A ><<=∴，且，∴。

例题6 在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。

错解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理得22R A A R B B sin cos sin cos =∴sin sin 222222180A B A B A B ==+=，∴且° ∴A ＝B 且A ＋B ＝90° 故△ABC 为等腰直角三角形。

辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。

正解：在△ABC 中，∵a A b B cos cos =，由正弦定理， 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==，∴。

∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

例题7 若a ，b ，c 是三角形的三边长，证明长为a b c，，的三条线段能构成锐角三角形。

错解：不妨设0<≤≤a b c ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。

cos ()()()θ=+-=+-a b c a b a b cab22222。

由于a ，b ，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>，即cos θ>0。

∴长为a b c，，的三条线段能构成锐角三角形。

辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。

显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。

正解：由错解可得cos θ>0 又∵a b c a b c a b c a b c+-=+-++++()()2()20a b c ab a b c a b c a b c+-==>++++++即长为a b c，，的三条线段能构成锐角三角形。

典型题1、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += 15．15．53 D ．53-解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A2、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形 D ．111A B C∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

故选D 。

3、ABC的三内角,,A B C所对边的长分别为,,a b c设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π【解析】222//()()()p q a c c a b b a ba c ab⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。

4、已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） 3Ｂ3 1515解：依题意，结合图形可得15tan 215A =，故221522tan15152tan 7151tan 1()2AA A ===--，选D5、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34C ．24D ．23解：ABC ∆中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，222cos 2a c b B ac+-==222242344a a a a +-=，选B.6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =(A) 1 （B ）2 （C ）3—1（D ）3解：由正弦定理得sinB ＝12，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30︒，所以C ＝90︒，故c ＝2，选B7、设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2ab bc =+是2A B=的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件解析：设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2ab bc =+，则2sinsin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22a BB C --=+， ∴ 1(cos 2cos 2)sin sin 2B A B C -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2ab bc =+，所以()2ab bc =+是2A B =的充要条件，选A.8、在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________. 解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ， 由余弦定理可解得B ∠的大小为3π. 9、在∆ABC 中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB＝ .3解：由正弦定理易得结论sinB 3。

10、在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，sin45sin 60AC BC =解得6AC =【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3B π∠= AD 为边BC 上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD =本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。