计数原理基本知识点
1.分类计数原理：做一件事情 ,完成它可以有n 类办法 ,在第一类办法中有1m 种不同的方法 ,在第二类办法中有2m 种不同的方法 ,…… ,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法
2.分步计数原理：做一件事情 ,完成它需要分成n 个步骤 ,做第一步有1m 种不同的方法 ,做第二步有2m 种不同的方法 ,…… ,做第n 步有n m 种不同的方法 ,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法
3．排列的概念：从n 个不同元素中 ,任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列 ,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中 ,任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫
做从n 个元素中取出m 元素的排列数 ,用符号m n A 表示
5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）
6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积 ,叫做n 的阶乘规定0!1=．
7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地 ,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组 ,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数 ,叫做从
n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．
．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+== 或)!
(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；
12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++
+++∈ , （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时 ,要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数 ,当n 依次取1,2,3…时 ,二项式系数表 ,表中每行两端都是1 ,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2
n
r =是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当n 是偶数时 ,中间一项2n
n
C 取得最大值；当n 是奇数时 ,中间两项1
2n n C - ,1
2n n
C +取得最大值． （3）各二项式系数和：
∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ,
令1x = ,则0122n r n n n n n n C C C C C =+++
+++
［特别提醒］
1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r r r n T C a b -+= ,注意()n a b +与()n
b a +虽然相同 ,但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的 ,所以我们一定要注意顺序问题。

另外
二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念 ,前者只是指r n C ,而后者
是指字母外的部分。

2．在使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=时 ,要注意：
（1）通项公式是表示第r ＋1项 ,而不是第r 项.
（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r
n 与第r +1项的系数不同.
（3）通项公式中含有a ,b ,n ,r ,T 1+r 五个元素 ,只要知道其中的四个元素 ,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中 ,常常遇到已知这五个元素中的若干个 ,求另外几个元素的问题 ,这类问题一般是利用通项公式 ,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数 ,r 是非负整数且r ≤n .。