第一章、计数原理知识点小结一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同的方法.2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。

3.两种方法的区别与联系：4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。

5.常用的方法有：填空法，使用时注意：6.常见的题型：（1）有关数字排列问题例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？小结：（2）形如n m m n 和的问题。

例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情况（没有并列冠军）小结：（3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？小结：1.排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.4.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数=m n A5.全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A6.n 的阶乘定义： 用 表示。

=n nA 规定：0！= 注：1！= 2！= 3！= 4！= 5！= 6！=例1计算：⑴410A ; ⑵ 218A ; ⑵ 66A7.解决排列问题的基本方法类型一：直接法和间接法例1:用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（多种方法）小结：排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作 ．当问题的正面的分类较多或计算较复杂，而反面分类较少，计算简单时，可通过求差采用 求解；间接法的步骤：类型二：排列问题(无限制条件的和有限制条件的)例2：有4名男生，3名女生排成一排（1） 有多少种排列方法？（2） 若7和人排成两排，前排3人，后排4人有多少种排法？（3） 若甲男生不站排头也不战排尾有多少种不同的排法？（4） 若甲只能在中间或者两端？（5） 甲乙必须在两端呢？（6） 甲不站排头，乙不站排尾呢？（7） 若3名女生必须排在一起（8） 若3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？（9）男生必须排在一起，女生必须排在一起，且男生甲与女生乙不能相邻，有多少种不同的站法？？（10）若甲乙相邻，丙丁不相邻呢？（11）若甲乙间恰有两人？小结：1：解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即优先考虑 ，然后在考虑 ；位置分析法——即优先考虑 ，再考虑小结2：排列中有些元素“相邻”问题，可以把相邻元素看成一个整体，当成一个元素和其他元素进行排列，此法称为“ ”；而对于元素不相邻的排列问题，可先将允许相邻的元素进行排列，然后在它们的空档处插入不能相邻的元素，对于这种“分离”问题我们用“ ”等.练习：用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数1组合的定义：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.排列和组合的区别和联系？相同点： 不同点：3. 组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示 4.m n C 与m n A 的关系为：m n A = m n C =5：组合数公式：mn C ＝ ＝ 这里的m 、n 满足的条件是6：用阶乘表示m n C = 我们规定：=0n C 7.组合数的性质一：8.常见的题型：类型一：计算例1：2313;C C 计算： 14C ；24C ； 34C ；35C ；25C例2：解方程：已知3618n C +=4218n C -，求n=? 例3： 解不等式：4n C >6n C类型二：没有限制条件的组合问题例3：（1）. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．（2）从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .（3）一位教练的足球队共有17名初级学员，他们呢中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问：（1）这位教练从这17位学员中可以形成多少种学员上场的方案？（2）如果在选出的11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？类型三：有限制条件的组合问题例4：在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？（1） 任意选5人（2） 甲乙丙三人必须参加（3） 甲乙丙三人不能参加（4） 甲乙丙三人只能有1人参加（5） 甲乙丙三人至少有1人参加（6） 甲乙丙三人至多有1人参加小结：有限制条件的组合应用题:解决“含与不含”，问题时，将限制条件视为 ，优先满足。

解决至少与至多问题时，常用的方法有 ，注意不重不漏。

类型四.：与平面几何有关的问题在MON ∠的边OM 上有5个异于O 点的点，边ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点（含O点）为顶点，可以得到多少个三角形？四、二项式定理1：()n a b += （*∈N n ）上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n b a )(+的展开式，其中r n C （r ＝0，1，2，…，n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.即注意：（1）n b a )(+展开，共有 项？每一项的次数 ；（（2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？字母a ，b 的指数和怎样？（3）各项的系数是什么？（4）r n C r r n b a -是n b a )(+的展开式的第几项？（5）n b a )(+的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？若不同，有什么区别？2.常见的题型题型一：求二项式展开式的特定项例1 ⑴ 求6)21(x +展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；（2）求9)33(xx + 展开式中的常数项和中间项. 213.()15?n x n x-=（）在的展开式中，常数项为，求4324-(1x -（）：求（1x ）的展开式中的系数？3：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是 .试试：① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 . 所以n b a )(+的各二项式系数的最大值是当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值. 试试：102⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21若a=1,b=-1又可以得到什么呢？试试：011111111111r C C C C ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+= 0261011111111C C C C ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=4.常见的题型类型一：求二项式系数和、系数的和例1.求和：n n n n n n C C C C 2222210+⋅⋅⋅+++=例2.若()772210721x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=+⋅⋅⋅++721a a a ，=+++7531a a a a =+++6420a a a a . 127||||||a a a ++⋅⋅⋅+=小结：特殊值法:类型二：求系数最大（小）的项例3：求()1012x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．求二项式展开式中系数最大（小）的步骤为：类型三、求有理项：二项式的有理项的定义为346n例的展开式中，第项为常数项（1）求n 的值.（2）求展开式中所有的有理项。

类型四、多项式中的指定项例5在（x-1）(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含4x 项的系数是多少？例6. ()()()()6321111x x x x ++⋅⋅⋅++++++展开式中2x 的系数类型五、整除问题求余数问题例7. 求1008除以7的余数是 。

例8证明：10099-1能被1000整除。