24 3 4k 2
x1 x2

x2 x1

12 2
(x1 x2 )2 2x1 x2 x1 x2

5 2
(24k ) 2 (3 4k 2 ) 24

9 2
k3Βιβλιοθήκη 2k 3所以，直线 m 的斜率
2
【例 4】已知点 P(2,2) ，圆 C : x2 y2 8 y 0 ，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，线段 AB 的 中点为 M ， O 为坐标原点.
轨迹方程.
解析 因为 PM PN 6 MN 4 ，所以由椭圆定义，动点 P 的轨迹是以 M 2, 0 和 N 2, 0 为焦
点，长轴长为
6
的椭圆，设椭圆方程为
x2 a2

y2 b2
1a b 0
，则有 2a 6, a 3
，半焦距 c 2
，
所以 b
(2)设点 P(0, − 1)满足|PA| = |PB|,求 E 的方程.
【解答】解:(I)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,
得|AB|
=
4 3
a,l
的方程为
y=x+c,其中
c
=
a2 − b2.
y=x+c
设
A(x1,y1),B(x2,y2),则
由题意可得：CM ⋅ MP = 0．
2
即 x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
∴M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知 M 的轨迹是以点 N（1，3）为圆心， 2为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，
x2 4

y2 3
1
（
y

0 ）.
第三节：相关点法:
有些问题中，所求轨迹上点 M x, y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点 M x, y 相关联的，
这时要通过建立这两点之间关系，并用 x, y 表示 x, y ，再 x, y 将代入已知曲线方程，即得 x, y 关系式.
【 解 】 ( Ⅰ ) 点 M(x,y) 到 直 线 x=4 的 距 离 , 是 到 点 N(1,0) 的 距 离 的 2 倍 ， 则
| x 4 | 2 (x 1)2 y 2 x 2 y 2 1 43 .
x2 y2 1 所以，动点 M 的轨迹为 椭圆，方程为 4 3 (Ⅱ) P(0, 3), 设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),由题知：2x1 0 x2，2 y1 3 y2
又 P 在圆 N 上，
从而 ON⊥PM．
∵kON=3，
∴直线
l
的斜率为﹣1．
3
∴直线
PM
的方程为
y
−
2
=−
1 3
(x
−
2)，即
x+3y﹣8=0．
则 O 到直线 l 的距离为
|−8| 12+32
=
4
10．
5
又
N
到
l
的距离为|1×1+3×3−8|
10
=
10，
5
∴|PM|=2
2−(
10 5
)2=4
10．
5
A、B
两点坐标满足方程组
x2 a2
+
y2 b2
=
1
化简的(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2﹣b2)=0
则x1
+
x2
=
−2a2c a2+b2
,x1x2
=
a2(c2−b2) a2+b2
因为直线 AB 斜率为 1,|AB|= 2|x1﹣x2|= 2[(x1 + x2)2 − 4x1x2],
得4
3
a
F1F2
中点,所以
OD

1 2
BF1
OD
,
1 2
AF1 AF2
2 ,则点 D 的轨迹为以 O 为圆心,2 为半径的圆,故
点 D 的轨迹为 x2 y2 4(y 0) ,同理,点 B 的轨迹是以 F1 1, 0 为圆心,4 为半径的圆,故点 B 的轨迹 方程为 x 12 y2 16(y 0) .
a2 c2
5
x2 y2 1 ，所以所求动点的轨迹方程为 9 5
【例 2】设圆 C 与两圆 x 5 2 y 2 4, x 5 2 y 2 4, 一个内切，另一个外切，求 C 的圆心轨迹 L
的方程。
解析 设圆 C 的圆心为 C（ x, y ），半径为 r(r 0) ，由题意可知两圆的圆心分别为 F1( 5,0), F2 ( 5,0) ，
椭圆的上下顶点坐标分别是(0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点，即直线 m 斜率 k 存在。
设直线m方程为 : y kx 3 .联立椭圆和直线方程，整理得：
（3 4k 2 )x2
24kx 24

0
x1

x2

24k 3 4k 2
, x1
x2
求 M 的轨迹方程；
当 OP OM 时，求 l 的方程及 POM 的面积
【解答】解：（1）由圆 C：x2+y2﹣8y=0，得 x2+（y﹣4）2=16，
∴圆 C 的圆心坐标为（0，4），半径为 4．
→
→
设 M（x，y），则CM = (x，y − 4)，MP = (2 − x，2 − y)．
→
→
故椭圆
E
的方程为x2
18
+
y2 9
=
1.
第二节：定义法: 若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。
【例 1】 M 2, 0 和 N 2, 0 是平面上的两点，动点 P 满足 PM PN 6 ，求点 P 的
解得 a=19.
∴半径 r=23,
∴△BDK 的内切圆 M 的方程为(x﹣19)2+y2=49.
【例
6】.设
F1,
F2
分别是椭圆
E:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)的左、右焦点,过
F1
斜率为
1
的直线
与 E 相交于 A,B
两点,且 | AF2 |,| AB |,| BF2 | 成等差数列.
(1)求 E 的离心率;
设
C（
x, y
）的轨迹
L 的方程为
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b
0) ，则
6
a2 b2 2a 4 c 5
c2

a2 b2
4
1 ，圆
C
的圆心轨迹
L
的方程为
x2 4

y2
1 。
【例
3】如图
10-15
所示， F1, F2 为椭圆
x2 4

y2 3
1
的左，右焦点，
A 为椭
圆上任因点，过焦点 F2 向 F1AF2 的外角平分线作垂线，垂足为 D ，并延长 F2D
交 F1A 于点 B ，则点 D 的轨迹方程是
，点 B 的轨迹方程是
解析因为 BAD F 2 AD, AD BF2 ,所以 ADF2 ≌ ADB 故 BD F2D , BA F2 A ,又 O 为
需 k1=k2
需 4(x2﹣1)=y2(y2﹣y1),
需 4x2=y22,
上式成立,∴k1=k2,
∴点 F 在直线 BD 上.
→
→
(2)FA ⋅ FB=(x1﹣1,y1)(x2﹣1,y2)=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=(my1﹣2)(my2﹣2)+y1y2=4(m2+1)﹣
8m2+4=8﹣4m2=89,
=
a42a+bb22,故
a2=2b2
所以
E
的离心率
e
=
c a
=
a2−b2 a
=
2 2
(II)设
AB
的中点为
N(x0,y0),由(I)知x0
=
x1+x2 2
=
−a2c a2+b2
=−
2 3
c,y0
=
x0
+
c
=
3c.
由|PA|=|PB|,得 kPN=﹣1,
即y0+1
x0
=−
1
5
得 c=3,从而 a = 3 2,b = 3
∴S△POM
=
1 2
×
4
10 5
×
4
10 5
=
16．
5
【例 5】.已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F,过点 K(﹣1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x
轴的对称点为 D.
(1)证明:点 F 在直线 BD 上;
→
(2)设FA ⋅
→
FB
=
89,求△
BDK
的内切圆
2020 年高考数学二轮复习 圆锥曲线第一章《轨迹方程》讲义案及中档题型精讲卷