高考数学二轮复习（理）讲义及题型归纳（基础）极坐标与参数方程目录目录 (1)一、总论 (2)二、考纲解读 (2)三、命题趋势探究 (3)四、知识讲解 (3)1.极坐标系 (3)2.极坐标与直角坐标的互化 (3)3.极坐标的几何意义 (4)4.直线的参数方程 (4)5.圆的参数方程 (5)6.椭圆的参数方程 (5)7.双曲线的参数方程 (5)8.抛物线的参数方程 (5)五、解答题题型归纳 (6)核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 (6)核心考点2: 参数方程中参数的几何意义 (9)一、总论坐标系与参数方程它以函数、方程等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现参数的几何意义问题，其形式逐渐多样化，但只要知其本质，便可举一反三，金枪不倒.二、考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 8.掌握参数方程化普通方程的方法. 三、命题趋势探究本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注. 四、知识讲解 1.极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图1和图2所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:xθOρ(,)M ρθ图 1yxθOρ(,)M x y图 2cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ （对0ρ<也成立）. 3.极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)4.直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图3所示).5.圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.6.椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.7.双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z . 8.抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.000(,)M x yO(,)M x ytyx图五、解答题题型归纳核心考点1: 参数方程与普通方程、极坐标系与直角坐标系的互化 1.⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-. (1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.解析 （1）圆1O ：4cos ρθ= ⇒ 24cos ρρθ=⇒224x y x +=，得()2224x y x -+=， 圆2O ：4sin ρθ=-⇒24sin ρρθ=-⇒224x y y +=-，得()2224x y ++=。

（2）联立两圆方程222244x y xx y y⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，过圆1O 、圆2O 交点的直线方程为4x+4y=0(两式相减)，即x+y=0.2. 已知一个圆的极坐标方程是53cos 5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 解析 由圆的极坐标方程53cos 5sin ρθθ=-得253cos 5sin ρρθρθ=-⇒22535x y x y +=-⇒225350x y x y +-+=，得225352522x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故圆心坐标为535,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，半径为5r =。

3. 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线 因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.2211x y ρ=⇒+=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.4. 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线解析 由极坐标方程c o sρθ=得2cos ρρθ=，则22x y x +=，即220x y x +-=，221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故表示的图形是圆，其圆心坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12，参数方程为 123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），消参数得310x y ++=，表示直线，故选A 。

5.直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .解析 将极坐标方程化为普通方程为12x =与222x y x +=，联立方程组成方程组求出两交点的坐标13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故弦长等于3。

6.参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .解析 利用()2sin cos 12cos sin θθθθ+=+⇒212x y =+，sin cos 2sin 2,24x πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭， 故普通方程是212x y -=，2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦ 7.方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（ ）A. 线段B. 双曲线的一支C. 圆弧D. 射线解析 由方程()2232051x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩⇒277350x x y ≤≤⎧⎨--=⎩。

故选A 8. 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .解析{t x t y ==2，化为普通方程为2x y =，由于y x ==θρθρsin ,cos ，所以化为极坐标方程为θρθρ22cos sin =，即0sin cos 2=-θθρ.9. 在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___． 9.12+【解析】利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1|12a -=，∴12a =+或12-， 又0a >，∴12a =+．10.在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0))，则||AP 的最小值为___________.10.1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=. 设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=.11.在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____.11.2【解析】直线的普通方程为23210x y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=， 因为圆心到直线的距离314d =< ，所以有两个交点. 12.在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ--=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB =____.4.2【解析】将cos 3sin 10ρθρθ--=化为直角坐标方程为310x y --=，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径r =1，又(1，0)在直线310x y --=上，所以|AB|=2r =2.核心考点2: 参数方程中参数的几何意义1.在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 232211 （t 为参数），直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点)2,1(-M ,求|MA|·|MB|。

1．试题分析：（1）设(,)P ρθ是圆上任意一点，则在等腰三角形COP 中，OC=2，OP=ρ,||3COP πθ∠=-，而1||||cos 2OP OC COP =∠ 所以，4cos()3πρθ=-即为所求的圆C 的极坐标方程。