二次函数专题一：二次函数与距离、角度的综合
1、已知抛物线y=x²−4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度,得到一条新的抛物线。
(1)求平移后的抛物线解析式；
(2)若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；
(3)若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a>0,b<0),并将此抛物线沿x轴方向向左平移−ba个单位长度,试探索问题(2).
2、如图,已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(−3,0),B(1,0),C(0,3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A. D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值?若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。
3、如图,已知抛物线y=ax²+bx+2的图象经过点A和点B.
(1)求该抛物线的解析式。
(2)把(1)中的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有
一个交点?写出此时抛物线的解析式。
(3)将(2)中的抛物线向右平移52个单位长度,再向下平移t个单位长度(t>0)，此时，抛物线与x轴交于M、N 两点，直线AB与y轴交于点P.当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
4、已知抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A. B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y=x+5经过D. M两点。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)连接AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由。
5、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax²+bx+3经过点N(2,−5)，过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点P(x,y)为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
二次函数专题二：二次函数与三角形综合
6、
7、如图,抛物线y=ax²+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(−1,0),B(5,−6),C(6,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大?若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个?并请求出其中某一个点Q的坐标。
8、如图,已知点A的坐标为(−2,0),直线y=−34x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A. B. C三点。
(1)请直接写出B. C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
(3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MN∥AB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形?
9、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过两点A(−1,1),B(2,2).过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D.
(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；
(2)若抛物线上存在点M,使得△BCM的面积为72，求出点M的坐标；
(3)连接OA、OB、OC、AC,在坐标平面内,求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标。
10、如图所示,抛物线y=−(x−m)²的顶点为A,直线l:y=3√x−3√m与y轴的交点为B,其中m>0.
(1)写出抛物线对称轴及顶点A的坐标;(用含有m的代数式表示)
(2)证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等?若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由。
二次函数专题三：二次函数与四边形综合
11、如图,抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A. B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,−3)
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。
(3)直线l经过A. C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似?若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由。
12、已知抛物线y =−12
x ²+bx +c 与y 轴交于点C ,与x 轴的两个交点分别为A (−4,0),B (1,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标； (3)已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由。
13、已知抛物线y =−ax ²+2ax +b 与x 轴的一个交点为A (−1,0)，与y 轴的正半轴交于点C. (1)直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； (2)当点C 在以AB 为直径的P 上时，求抛物线的解析式；
(3)坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和(2)中抛物线上的三点A. B. C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
14、已知如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC
（1）求出直线AD的解析式；
（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=（点M在
点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；
（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．。