最新度第二学期高三年级学业质量调研
数学理
一、填空题
1.函数()f x =
的定义域为. 2.已知线性方程组的增广矩阵为11334a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫
⎪⎝⎭
，则实数a =.
3.计算2123lim
1
n n n →∞+++++=. 4.若向量a 、b 满足||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为
π
3
，则||a b +=. 5.若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||
z z i
+的虚部为.
6.61
(x
的展开式中，常数项为.
7.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a c b a c a
b
b
--=
，则角C 的
大小是.
8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为. 9.在极坐标系中曲线C ：2cos ρθ=上的点到(1,π)距离的最大值为.
10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是.
11.已知双曲线2
2
14
y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ⋅=，则
||
||
PM PF =. 12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有.（用数字作答） 13.若关于x 的方程54
(4)|5|x x m x x
+--
=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为.
14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内
挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：
已知椭圆的标准方程为
22
1425
x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于.
二、选择题
15.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,)+∞上递增的是（ ）
A.||
2x y = B.ln y x = C.13
y x = D.1y x x
=+ 16.已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，则“π
3
α<
”是“3k < ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
17.设x ,y ,z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A.22
11
x x x x
+
+≥ 312x x x x +++≤ C.1
||2x y x y
-+
-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤ 18.已知命题：“若a ,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a ,b 之间的距离”为真命题.
根据上述命题，若a ,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a ,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ）
A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条 三、解答题
19.如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，11
12
AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.
(1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.
20.某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB (假设OM 、ON 这两面墙都足够长).已知|PA |=|PB |=10 (米),π
4
AOP BOP ∠=∠=
,OAP OBP ∠=∠.设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S . (1)将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； (2)求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.
21.已知函数2()log (21)x
f x ax =++，其中a ∈R .
(1)根据a 的不同取值，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)已知a >0，函数()f x 的反函数为1
()f
x -，若函数1()()y f x f x -=+在区间[1,2]上的最小值为
21log 3+，求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值.
22.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距
为F 与短轴的两个端点组成一个正
三角形.若直线l 与椭圆C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y ，且在椭圆C 上存在点M ，使得：
34
55
OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则称直线l 具有性质H .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 垂直于x 轴，且具有性质H ，求直线l 的方程；
(3)求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R ，使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H .
23.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11,(1)(1),n n a na n a n n n λ+==+++∈*
N ,且对一切n ∈*N ,均有
12
(2)n a n bb b =.
(1)求证：数列{
}n
a n
为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)若2λ=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (3)设()n n
n n n
a b c n a b -=
∈*N ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，问：是否存在正整数λ，对一切n ∈*N ，均有4n T T ≥恒成立.若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由.
19、（1）证明：因为直三棱柱111ABC A B C -中，CC 1⊥平面ABC ，所以，CC 1⊥BC ， 又底面ABC 是直角三角形，且AC ＝BC ＝1，所以AC ⊥BC ， 又1AC
CC ＝C ，所以，BC ⊥平面ACC 1A 1，所以，BC ⊥DC 1
（2）11C BDC B CDC V V --=＝111211323
⨯⨯⨯⨯=
20（1）在三角POB 中，由正弦定理，得：
10
3sin()sin
44
OB ππθ=
-，得OB ＝10（cos sin θθ+） 所以，S ＝121010(cos sin )sin 2
θθθ⨯⨯⨯+＝2
100(sin cos sin )θθθ+，
（2）S ＝2
100(sin cos sin )θθθ+＝2
50(2sin cos 2sin )θθθ+ ＝50(sin 2cos 21)θθ-+＝502)504
π
θ-
+
所以，
21、（1）当a ＝－
12时，21
()log (21)2
x f x x =-++，定义域为R ， 21()log (21)2
x
f x x --=++2112lo
g ()22x x x +=+
＝
221log (21)log 22x x x ++-＝21
log (21)2
x x -++＝()f x ，偶函数。

22、（1）223c =，所以3c =，
又右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，所以，2a b = 因为222a b c =+，解得：2,1a b ==，
所以，椭圆方程为：2
24
x y +＝1
23、（1）证明：由1(1)(1),n n na n a n n n +=+++∈*
N ，两边除以(1)n n +，得
111n n a a n n +=++，即111n n a a
n n
+-=+， 所以，数列{}n a
n
为等差数列
1n
a n n
λ=+-，所以，2(1)n a n n λ=+-。