4.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置 的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此, 有如下讨论: 1. 由上述定理的充分性证明中可知,对于SISO线性定常连续 系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范I形, 则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中的a闭i和环ai系*(i统=1特,2,征…多,n)项分式别的为系开数环。系统特征多项式和所期望
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。 ➢ 即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。 ➢ 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形。 ✓ 不失一般性,下面仅对能控规范I形证明充分性。
K=[k1 k2 … kn] 则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为
0
A-BK
...
0
-an -k1
1 ... 0 -an1-k2
... 0
...
...
... 1
... -a1-kn
➢ 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为
Gk(s)sn(a1b1ksnn)s1n1.....b.n(ank1)
h
4
状态反馈极点配置定理(1/11)
4.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题: ➢ 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 ➢ 下面的定理就回答了该问题。
h
5
状态反馈极点配置定理(2/11)
定理4-1 对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能 使 被闭控环系系统统(A,KB(A,C-B)状K,态B,完C)全的能极控点。任意配置的充分必要条件为 □
n
det[sIA ] (ssi) i1,2,...,n i 1
n
d e t[ hsI (A B K )] (s si* ) i 1 ,2 ,1.1..,n i 1
SISO系统状态反馈极点配置方法(2/10)
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范I形,则利 用线性变换将系统(A,B)变换成能控规范I形
a1+kn=a1* an+k1=an* 则可多将项状式态f*(反s)所馈规闭定环的系极统点K上(A。-BK,B,C)的极点配置在特征
✓ 即证明了充分性。 ➢ 同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为
其中
K=[k1 k2 … kn]
ki an *i1ani1
h
10
SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)
AT c 11A T c1 BT c 11B 对能控规范I形~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如下
K a n * a n a n * 1 a n 1
a 1 * a 1
因此,原系统的相应状态反馈阵K为
K KTc11
参见P129
h
12
SISO系统状态反馈极点配置方法(7/10)—例3
别为
0 1 ... 0
A
...
0
...
...Leabharlann ...0 ... 1
an an1 ... a1
C bn bn1 ... b1
且其传递函数为
0 B ...
0 1
G(s)snb1san1s1n1.. ...b.nan
h
8
状态反馈极点配置定理(5/11)
➢ 若SISO被控系统(A,B,C)的状态反馈阵K为
例4-3 已知系统的传递函数为 G(s) 10 s(s1)(s2)
p2 p1
p3
h
3
反馈控制与极点配置(4/5)
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: ➢ 给定线性定常连续系统
确定反馈控制律
x AxBu uKxv
x (ABK)xBv y Cx
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
n
d e t[sI (A B K )] (s si* ) i 1 ,2 ,...,n i 1
fk(s)sn(a1kn)sn1... (ank1)
h
9
n
d e t[sI (A B K )] (s si* )
i 1 ,2 ,...,n状态反馈极点配置定理(6/11)
i 1
➢ 如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为
f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an* 那么,只需令fK(s)=f*(s),即取
h
2
反馈控制与极点配置(3/5)
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点; 2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数; 3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
h
6
状态反馈极点配置定理(3/11)
➢ 下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对MIMO系统可 完全类似于SISO的情况完成证明过程。
➢ 证明过程的思路为:
分别求出开
环与闭环系
统的传递函 数阵
比较两传
递函数阵
的特征多 项式
建立可
极点配
置的条 件
h
7
状态反馈极点配置定理(4/11)
证明过程: ➢ 设SISO被控系统(A,B,C)为能控规范I形,则其各矩阵分
反馈控制与极点配置(1/5)
4.2 反馈控制与极点配置
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。 ➢ 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法。
h
1
反馈控制与极点配置(2/5)
对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 ➢ 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平 面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点, 是可以有效地改善系统的性能品质指标的。 ✓ 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 ✓ 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还 是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指 标,本质上均属于极点配置方法。 ➢ 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵 K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选 择的一组期望极点上。